[論文レビュー] On globally nilpotent differential equations

Michael Dettweiler, Stefan Reiter|arXiv (Cornell University)|May 15, 2006

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Fuchsian微分方程式系における中間畳み込み演算が、全体的可解性を保つことを確立している。具体的には、Fuchsian系が全体的可解であるならば、有理数パラメータμに関するその中間畳み込みも依然として全体的可解であると証明している。主な貢献は、超幾何的または算術的系の引き戻しとして得られない、以前に未知であった全体的可解なランク2のFuchsian系の構成であり、これまでに知られていなかった全体的可解な系の存在を示している。

ABSTRACT

In a previous work of the authors, a middle convolution operation on the category of Fuchsian differential systems was introduced. In this note we show that the middle convolution of Fuchsian systems preserves the property of global nilpotence. This leads to a globally nilpotent Fuchsian system of rank two which does not belong to the known classes of globally nilpotent rank two systems. Moreover, we give a globally nilpotent Fuchsian system of rank seven whose differential Galois group is isomorphic to the exceptional simple algebraic group of type $G_2.$

研究の動機と目的

• Fuchsian系における中間畳み込みの下でのp曲率の振る舞いを調査すること。
• 中間畳み込みが全体的可解性の性質を保つかどうかを特定すること。
• 超幾何的または算術的系の引き戻しとして得られない、ランク2の新たな全体的可解Fuchsian系の例を構成すること。
• 既知の分類を拡張する形で、中間畳み込みを用いて新しい全体的可解系のクラスを提供すること。

提案手法

• 本稿では、有理数μ ∈ ℚをパラメータとするブロック行列構成を用いて定義される、Fuchsian系における代数的中間畳み込み関手を用いている。
• 中間畳み込みのFuchsian系への関連を perverse sheaf の中間畳み込みに結びつけるために、Riemann-Hilbert対応を適用している。
• p曲率の畳み込みに対する分析には、Okubo系のp曲率の閉じた公式が用いられている。
• p曲率の可解性は、素数pを法としての還元を用いて調べられ、特にord_p(μ)の整数値に注意を払っている。
• 既知の全体的可解ランク2系（Krammer, 1999年）にこの構成を適用し、新たな全体的可解系を得ている。
• モナドロミー群と分岐指数の解析を用いて、得られた系が超幾何的系や算術的系の引き戻しではないことが示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全体的可解なFuchsian系のうち間畳み込みをとった系も、依然として全体的可解であるか？
• RQ2 中間畳み込み演算は、既知のクラスに属さない新たな全体的可解Fuchsian系を生成できるか？
• RQ3 分岐指数とモナドロミー群の構造が、このような系の存在に課す制約は何か？
• RQ4 特に可解性ランクの観点から、p曲率は中間畳み込みの下でどのように変化するか？
• RQ5 中間畳み込みによって構成された新しいランク2系は、超幾何的または算術的系の引き戻しであるか？

主な発見

• 有理数パラメータμ ∈ ℚに関する、全体的可解なFuchsian系の間畳み込みは、依然として全体的可解である。
• 元の系のp曲率が可解性ランクkであるとき、中間畳み込みのp曲率の可解性ランクは{k−1, k, k+1}のいずれかに属する。
• 既知の全体的可解ランク2系を用いた中間畳み込みにより、超幾何的系の引き戻しとして得られない新たな全体的可解Fuchsian系が構成された。
• モナドロミー群の解析と分岐データにより、この新規系は算術的ではないことが確認された。
• この系のモナドロミー位数は(3,3,3,6)であり、これは任意のGauss超幾何的引き戻しのモナドロミー構造と矛盾する。
• 分岐指数として(2,2,2,2,2)、(3,3,1,1,1,1)、および(10)が得られ、N = r + s + t + 2 = 10を満たす。これにより、この系は超幾何的ではないことが確認された。