[論文レビュー] On Gromov-Witten theory of root gerbes

Elena Andreini, Yunfeng Jiang+1 more|ArXiv.org|Dec 24, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、$μ_r$-ルート・ゲルベが滑らかな射影的多様体上に存在する場合、仮想基本クラスの直接計算を通じて、Genus 0 の Gromov-Witten 理論を確立し、Genus 0 における分解予想を検証する。さらに、トーリック・ゲルベがトーリック Deligne-Mumford スタック上に存在する場合、トーリック Gromov-Witten 理論の高度な技術を用いて、すべての genus においても予想を確認する。その結果、ゲルベの全下降的生成関数は、コホロロジーと Novikov 変数を含む変数変換を施した際、$|N_{\text{tor}}|$ 個のスケーリングされたベースの生成関数の和として表されることを示す。

ABSTRACT

This research announcement discusses our results on Gromov-Witten theory of root gerbes. A complete calculation of genus 0 Gromov-Witten theory of $μ_{r}$-root gerbes over a smooth base scheme is obtained by a direct analysis of virtual fundamental classes. Our result verifies the genus 0 part of the so-called decomposition conjecture which compares Gromov-Witten theory of étale gerbes with that of the bases. We also verify this conjecture in all genera for toric gerbes over toric Deligne-Mumford stacks.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的多様体上に存在する $μ_r$-ルート・ゲルベの Genus 0 Gromov-Witten 理論を計算すること。
• Gromov-Witten 理論のゲルベと、ベースの理論のねじれ版との関係を示す分解予想の Genus 0 バージョンを検証すること。
• トーリック Deligne-Mumford スタック上に存在するトーリック・ゲルベについて、分解予想をすべての genus に拡張して検証すること。
• ゲルベの全下降的生成関数と、スケーリングされたベースの生成関数との間の明確な対応関係を確立すること。

提案手法

• $μ_r$-ルート・ゲルベの Genus 0 Gromov-Witten 不変量を計算するため、仮想基本クラスの直接的解析。
• Genus 0 のねじれ安定写像のモジュライスタックを構成。
• Chen-Ruan orbifold コホロロジーを用いて、ゲルベのインertia スタックを $r$ 個のベースのコピーの直和として記述。
• すべての genus におけるトーリック・ゲルベの不変量を計算するために、トーリック Gromov-Witten 理論の技術を応用。
• Chen-Ruan コホロロジーの同型を介して、コホロロジー変数と Novikov 変数のスケーリング。
• 全下降的生成関数における genus 変数 $\hbar$ を $1/|N_{\text{tor}}|$ にスケーリングし、ゲルベ理論と一致させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな射影的多様体上に存在する $μ_r$-ルート・ゲルベの Genus 0 Gromov-Witten 理論について、分解予想は成立するか？
• RQ2 トーリック Deligne-Mumford スタック上に存在するトーリック・ゲルベについて、分解予想はすべての genus に拡張可能か？
• RQ3 ルート・ゲルベのねじれ安定写像モジュライ空間の仮想基本クラスは、ベースのそれらとどのように関係するか？
• RQ4 ゲルベの全下降的生成関数とベースのそれとの間の正確な変数変換（コホロロジー、Novikov、genus）は何か？
• RQ5 $μ_r$-ルート・ゲルベの Chen-Ruan コホロロジーと、ベースのコホロロジーの $r$ 個の直和との間に、自然な同型が存在するか？

主な発見

• 滑らかな射影的多様体上に存在する $μ_r$-ルート・ゲルベの Genus 0 Gromov-Witten 理論は、仮想基本クラスの解析によって完全に計算可能である。
• $μ_r$-ルート・ゲルベの Genus 0 において、分解予想は成立し、ゲルベの全下降的生成関数は、変数変換を施した際、ベースの生成関数の $r$ 個のコピーの和として表される。
• トーリック Deligne-Mumford スタック上に存在するトーリック・ゲルベについては、すべての genus において分解予想が検証され、ゲルベの全下降的生成関数は、$|N_{\text{tor}}|$ 個のスケーリングされたベースの生成関数の和として表される。
• Chen-Ruan コホロロジーの同型は、写像 $y_{\rho}^{\bar{c}} \mapsto y^{\bar{c},\rho}$ を介して明示的に実現される。
• $\mathbb{P}(4,6) \to \mathbb{P}(2,3)$ における $μ_2$-ゲルベの量子コホロロジー環は、$\mathbb{P}(2,3)$ の量子コホロロジー環の2重の直和と同型であり、生成子は $\mathbf{1}_i$, $u_i$, $v_i$ を介して変換される。
• Novikov 変数のスケーリングは、$d = \sum a_i e_i$ が削減されたスタックの Mori 錐に属する場合、$Q^d \mapsto Q^d \chi_\rho(\sum_{i=1}^n a_i \alpha_i)$ で与えられる。