[論文レビュー] On Hoare-McCarthy algebras

J.A. Bergstra, Alban Ponse|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2010

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、側面効果を伴う命題論理のための新しい代数的意味論として、ホアの条件付き結合子 $x\triangleleft y\triangleright z$ を唯一の原始演算として用いるホア＝マカーシー代数（HMAs）を導入する。HMAsは中間の価値同等関係に依存せずに、価値割り当ての合同関係を直接特徴づけることができ、各合同関係 $=_{K}$ に対して、方程式理論 $\text{CP}_K$ が完全であることを証明している。ここで $K$ は自由、反復不変、収縮的、弱記憶的、記憶的、静的意味論の各タイプを表す。

ABSTRACT

We discuss an algebraic approach to propositional logic with side effects. To this end, we use Hoare's conditional [1985], which is a ternary connective comparable to if-then-else. Starting from McCarthy's notion of sequential evaluation [1963] we discuss a number of valuation congruences and we introduce Hoare-McCarthy algebras as the structures that characterize these congruences.

研究の動機と目的

• 側面効果を伴う命題論理のための新しい意味論的枠組みを構築し、評価順序と側面効果を体系的に捉えること。
• 価値割り当て代数（VA）意味論の制限、すなわち価値同等関係を定義した後に合同関係を導出する必要があることに対処するため、HMAsによる直接的意味論を導入すること。
• 自由、反復不変、収縮的、弱記憶的、記憶的、静的といった複数の価値割り当て合同関係について、条件付き結合子を原始演算として用いる完全な方程式的公理化を提供すること。
• 異なる合同関係の間の関係を明確にし、HMAsが中間同等関係を経由せずに合同関係の構築を自然に可能にすることを示すこと。

提案手法

• ホア＝マカーシー代数（HMAs）を、ホアの条件付き結合子を表す三項演算 $x\triangleleft y\triangleright z$ を備えた代数的構造として定義し、[8]の公理（CP1–CP4）を満たすものとする。
• 価値割り当て合同関係 $=_{K}$ を、VAベースの手法とは異なり、中間の価値同等関係 $\equiv_{K}$ を事前に定義する必要なく、HMA意味論によって直接定義する。
• 各合同関係タイプ $K \in \{fr, rp, cr, wm, mem, st\}$ に対して、方程式理論 $\text{CP}_K$ が完全であることを確立する：$\text{CP}_K \vdash t = t'$ if and only if $t =_K t'$。
• VAベースの意味論と比較してHMAフレームワークを用い、HMA意味論が価値割り当て変換により強い制約を課すことを示す。例えば、静的合同関係では $a \bullet s = s$ が普遍的に成立する。
• 異なる合同関係下での二項結合子（例：左順序結合 $x~{}\mathbin{\text{\textasciibreve{\textbackslash}}\textbackslashwedge}~{}y = y\triangleleft x\triangleright F$）の表現力について分析し、これらが $=_{mem}$ や $=_{st}$ に関してのみ条件付き結合子を表現可能であることを示す。
• 弱めた公理を用いた記憶的意味論の定義可能性を調査し、HMAの条件とVAベースの公理を比較することで、$\text{CP}_K$ がこのような変更のもとでも完全のままであるかを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 価値同等関係を事前に定義せずに、側面効果を伴う命題論理の直接的な代数的意味論を構築することは可能か？
• RQ2 各価値割り当て合同関係 $=_{K}$（$K$ が自由、反復不変、収縮的、弱記憶的、記憶的、静的意味論を表す場合）に対して、方程式理論 $\text{CP}_K$ は完全か？
• RQ3 HMA意味論における価値割り当て変換規則は、価値割り当て代数（VAs）とはどのように異なるか。特に静的および記憶的合同関係の場合に注目する。
• RQ4 異なる合同関係下で、条件付き結合子を二項結合子のみで表現することは可能か。もし可能であれば、どの合同関係の下でそれが可能になるか？
• RQ5 HMAフレームワークにおいて、記憶的意味論のクラスは弱めた公理によって定義可能か。また、これはVAベースの特徴づけと比べてどう異なるか？

主な発見

• ホア＝マカーシー代数（HMAs）は、価値割り当ての合同関係を代数的構造によって直接定義することで、中間の価値同等関係を経由する必要がなく、側面効果を伴う命題論理のための直接的で洗練された意味論を提供する。
• 各合同関係タイプ $K \in \{fr, rp, cr, wm, mem, st\}$ に対して、方程式理論 $\text{CP}_K$ が完全である：$\text{CP}_K \vdash t = t'$ if and only if $t =_K t'$ であり、各意味論に対する完全な公理化が確立される。
• HMA意味論は、VA意味論よりも価値割り当て変換に強い制約を課すことが明らかになった。静的合同関係では、$a \bullet s = s$ が普遍的に成立するが、VA意味論では $a \neq b$ の場合にのみ $a \mathbf{!} (b \bullet s) = a \mathbf{!} s$ が要求される。
• 条件付き結合子 $x\triangleleft y\triangleright z$ は $=_{cr}$ に関しては二項結合子のみでは表現できないが、$=_{mem}$ や $=_{st}$ に関しては表現可能であることが示され、表現力の階層が明らかになった。
• 本稿は、$\text{CP} + \{T\triangleleft x\triangleright T = T\}$ といった代替的公理化が、項書き換え系（TRS）意味論と整合しないことから、それらが不整合であることを示し、元のCP公理の必要性を強調している。
• HMAフレームワークは、評価履歴を追跡する記憶的意味論が、順序付き価値割り当て代数（SPAs）の公理を式（19）および（20）に弱めたものとして定義可能でないことを明確にし、VAとHMA意味論の間のより深い構造的差異を示している。