[論文レビュー] On homotopy invariance for algebras over colored PROPs

Mark Johnson, Donald Yau|ArXiv.org|May 29, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、対称モノイダルモデル圏上での色付きPROPsおよびそれらの代数に対して、射影的モデル圏構造を確立し、その上で、コフibrントな色付きPROPsの代数がホモトピー不変であることを証明する。これは、ボードマン＝ヴォイトのホモトピー不変性結果を色付きPROPsへ一般化したものであり、ホモトピー的トポロジカル conformal field theories（TCFT）がホモトピー不変構造であることを示している。

ABSTRACT

Over a monoidal model category, under some mild assumptions, we equip the categories of colored PROPs and their algebras with projective model category structures. A Boardman-Vogt style homotopy invariance result about algebras over cofibrant colored PROPs is proved. As an example, we define homotopy topological conformal field theories and observe that such structures are homotopy invariant.

研究の動機と目的

• 色付きPROPsおよびそれらの代数のためのホモトピー理論を、対称モノイダルモデル圏において開発すること。
• ボードマン＝ヴォイトのホモトピー不変性結果を、オペラッドから色付きPROPsへ一般化すること。
• 色付きオペラッドのモデル圏と色付きPROPsのモデル圏の間で、クィレン同等性を確立すること。
• 弱同値に関して、コフibrントな色付きPROPsの代数がホモトピー不変であることを示すこと。
• ホモトピー的トポロジカル conformal field theories（TCFT）を、ホモトピー不変構造として定義し、それらを研究すること。

提案手法

• ベースカテゴリ $\mathcal{E}$ から、各成分ごとのファイブレーションおよび弱同値を用いて、$\mathfrak{C}$-色付きPROPsのカテゴリへモデル圏構造を上げる。
• ココミュタティブなインターバルまたは関手的パスデータを用いてパス対象を構成し、Lifting Lemma を用いてモデル構造の持ち上げを可能にする。
• $\mathfrak{C}$-色付きオペラッドから $\mathfrak{C}$-色付きPROPsへの左随伴関手 $(-)_{\text{prop}}$ を、左カルタン拡張および $\boxdot$ を用いた連結を用いて定義する。
• 随伴 $((-)_{\text{prop}}, U)$ がクィレンペアであることを証明し、修正された射影的構造のもとでクィレン同等性であることを示す。
• 次数付き対象の自己準同型PROPsを用いて、色付きPROP上の代数のカテゴリを構成する。
• 左カルタン拡張の普遍性を用いて、オペラッドに付随するPROPsにおける縦方向および横方向の合成を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称モノイダルモデル圏 $\mathcal{E}$ 上の $\mathfrak{C}$-色付きPROPsのカテゴリは、どのような条件下で射影的モデル圏構造を備えるか？
• RQ2 ボードマン＝ヴォイトのホモトピー不変性原理は、どのようにオペラッドから色付きPROPsへ拡張可能か？
• RQ3 色付きオペラッドのホモトピー理論と色付きPROPsのホモトピー理論の関係は何か？
• RQ4 コフibrantな色付きPROPsの代数は、弱同値に関してホモトピー不変か？
• RQ5 ホモトピー的トポロジカル conformal field theories（TCFT）は、定義可能であり、ホモトピー不変であることを示せるか？

主な発見

• 対称モノイダルモデル圏 $\mathcal{E}$ 上の $\mathfrak{C}$-色付きPROPsのカテゴリ $\mathbf{PROP}^{\mathfrak{C}}_{\mathcal{E}}$ は、$\mathcal{E}$ における各成分ごとのファイブレーションおよび弱同値を用いて、$\mathcal{E}$ にやや弱い仮定を課すことで、強くコフibrantly生成されたモデル圏構造を備える。
• $\mathfrak{C}$-色付きオペラッドと $\mathfrak{C}$-色付きPROPsの間の随伴ペア $((-)_{\text{prop}}, U)$ はクィレンペアであり、修正された射影的構造のもとでクィレン同等性である。
• コフibrantな色付きPROPの代数はホモトピー不変である。すなわち、PROPs間の弱同値は、それらの代数のカテゴリ上でも弱同値を誘導する。
• $\mathfrak{C}$-色付きオペラッド $\mathsf{O}$ に付随する $\mathfrak{C}$-色付きPROP $\mathsf{O}_{\text{prop}}$ 上の代数のカテゴリは、$\mathsf{O}$-代数のカテゴリと同値である。
• 適切な色付きPROPに代数として定義されるホモトピー的トポロジカル conformal field theories（TCFT）は、ホモトピー不変構造である。
• $\mathsf{O}_{\text{prop}}$ の構成は、元のオペラッド $\mathsf{O}$ のホモトピー理論を保存し、関手的随伴のもとで関連する代数は同値である。