[論文レビュー] On Integrability of Nonautonomous Nonlinear Schroedinger Equations

Sergeĭ K. Suslov|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 52被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する非自己随伴で非同次な非線形シュレーディンガー方程式（非線形項が時間に依存する二次ハミルトニアンを有する）を、明示的な時間依存変換により標準的な自己随伴非線形シュレーディンガー方程式に変換する体系的な手法を提示する。主な貢献は、リッカティ型常微分方程式系の解を用いた閉形式の変換であり、問題を逆散乱法で解ける完全可積分形に還元する。また、一般化された調和振動子のグリーン関数との明確な関係も示している。

ABSTRACT

We show, in general, how to transform the nonautonomous nonlinear Schroedinger equation with quadratic Hamiltonians into the standard autonomous form that is completely integrable by the familiar inverse scattering method in nonlinear science. Derivation of the corresponding equivalent nonisospectral Lax pair is outlined. A few simple integrable systems are discussed.

研究の動機と目的

• 時間に依存する二次ハミルトニアンを有する非自己随伴で非同次な非線形シュレーディンガー方程式を、標準的な自己随伴形に変換する一般的手法を確立すること。
• このような変換が完全可積分性をもたらすために必要な十分条件を特定すること。
• リッカティ型常微分方程式系の解を用いた、変換パラメータの明示的で四則演算に基づく表現を提供すること。
• 変換と対応する線形問題のグリーン関数との関係を確立すること。これは、従来の文献では強調されていなかった点である。
• 具体的な可積分系にこの手法を適用し、ソリトン解やラクス対の構成を示すこと。

提案手法

• 変換はゲージ変換と座標変換によって定義される：$\psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{\mu(t)}} e^{i(\alpha(t)x^2 + \delta(t)x + \kappa(t))} \chi(\xi,\tau)$、ここで $\xi = \beta(t)x + \varepsilon(t)$、$\tau = \gamma(t)$。
• 時間に依存する関数 $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon, \kappa$ は、1階常微分方程式系（2.6）–（2.11）を解くことで決定され、これはリッカティ型系を形成する。
• 置換 $\alpha = \frac{1}{4a(t)} \frac{\mu'(t)}{\mu(t)} - \frac{d(t)}{2a(t)}$ を用いることで、リッカティ系は $\mu(t)$ に関する2階線形常微分方程式に簡略化され、式（2.13）が得られる。
• 得られる自己随伴方程式 $i\chi_\tau + h_0 |\chi|^2 \chi = \chi_{\xi\xi}$ は、逆散乱法およびラクス対法により完全可積分であることが知られている。
• この手法は、変換と対応する線形問題のグリーン関数との明示的関係を確立する。
• このアプローチを用いて、時間に依存する外部ポテンシャルや非線形項を有する特定の非自己随伴系に対して、ソリトン解やラクス対を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する二次ハミルトニアンを有するすべての非自己随伴非線形シュレーディンガー方程式を、標準的な自己随伴可積分形に変換できるか？
• RQ2 このような非自己随伴系を自己随伴非線形シュレーディンガー方程式に写像する明示的変換の形は何か？
• RQ3 変換パラメータは、対応する線形問題のグリーン関数とどのように関係しているか？
• RQ4 変換後の非自己随伴系の等価なラクス対の構造はどのようなものか？
• RQ5 この手法を、特定の非自己随伴系に対して、ソリトン解や保存則を体系的に導出するのにも応用可能か？

主な発見

• 時間に依存する係数を有する非自己随伴非線形シュレーディンガー方程式（2.2）は、条件（2.6）–（2.11）の下で、明示的変換（2.4）により標準的な自己随伴形 $i\chi_\tau + h_0 |\chi|^2 \chi = \chi_{\xi\xi}$ に変換される。
• 変換パラメータ $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon, \kappa$ は、リッカティ型常微分方程式系を解くことで決定され、式（2.13）に示されるように、$\mu(t)$ に関する2階線形常微分方程式に還元される。
• この手法は、一般化された調和振動子のグリーン関数との直接的な関係を確立しており、従来の文献では強調されていなかった点である。
• 得られる自己随伴方程式は完全可積分であり、逆散乱法による標準的手法により $N$-ソリトン解、保存則、および等価なラクス対を備える。
• 具体的な例として、第二パンルベ方程式に従うソリトン解が明示的に導出され、そのプロファイルは非線形アイルリー関数 $A_{k_0}(\zeta)$ 及びその漸近挙動で表現される。
• この手法は一般性を有し、1次元の非自己随伴で非同次な非線形シュレーディンガー方程式の最も広いクラス（式（2.2）および（2.3）に形式化）に適用可能である。