[論文レビュー] On local analytic expansions of densities in the context of (micro-)hypoelliptic and classes of semi-elliptic equations

Joerg Kampen|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2010

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Heston型モデルやアメリカン・オプション・プライシングに現れるような (ミクロ) 超楕円型および半楕円型方程式へと、厳密に楕円型作用素に限らない文脈へと、放物型偏微分方程式の遷移密度の局所的解析的展開を拡張する。基礎解表現と反復スキームを活用することで、金融モデルにおける高次精度数値スキームの実現が可能となり、精度が向上する。

ABSTRACT

Explicit representations of densities for linear parabolic partial differential equations are useful in order to design computation schemes of high accuracy for a considerable class of diffusion models. Approximations of lower order based on the WKB-expansion have been used in order to compute Greeks in standard models of the interest rate market (cf. [2]). However, it turns out that for higher order approximations another related expansion leads to more accurate schemes. We compute a local explicit formula for a class of parabolic problems and determine a lower bound of the time horizon where it holds (given a certain bounded domain). Although the local analytic expansions hold only for strictly elliptic equations we show that the expansions can be used in order to design higher order schemes for various types of (micro)-hypoelliptic and semi-elliptic equations, e.g. the reduced market models considered in [7] or front fixing schemes for multivariate American derivatives [3].

研究の動機と目的

• 厳密に楕円型から (ミクロ) 超楕円型および半楕円型放物型PDEへと、遷移密度の局所的解析的展開を拡張すること。
• 有界領域内において、このような局所的展開が有効である時間区間の下界を厳密に求める。
• 数学的ファイナンスにおける拡散モデルの高精度数値スキームへの応用を可能にするために、これらの展開を適応すること。
• アメリカン・オプション・プライシングのような自由境界問題における反復スキームの収束性と正則性を確立すること。
• Hörmander条件が次元が低い部分空間上で満たされる場合に、厳密に楕円型作用素に対する収束結果をミクロ-超楕円型作用素へと一般化すること。

提案手法

• 厳密に楕円型方程式に対して、$ p(t,x;0,y) = \frac{1}{(4\pi t)^{n/2}} \exp\left(-\frac{d_R^2(x,y)}{4t}\right) \left(\sum_{k=0}^{\infty} d_k(x,y) t^k\right) $ の形で明示的な局所的解析的展開を導出する。
• 時間に依存するRiemann距離 $ d_R^2(t,x,y) $ を用いて、時不変でない場合への展開を適応する。
• 係数が $ F^{n-1} $ に依存する一連の放物型PDEを解く反復スキーム $ v^n $ を構築する。ここで $ F $ は自由境界関数である。
• 変数係数を持つ線形放物型作用素の基礎解 $ p_{v^n} $ を含む畳み込み表現を用いる。
• 超平面 $ \{x_1 = 1\} $ における境界条件を $ v^n_{x_1} - v^n = -tK $ として課し、自由境界条件と整合性を保つ。
• 初期データと境界制約から導かれる強制項 $ \Gamma_{v_n} $ を含む積分方程式を用いて、境界源項 $ \phi_{v^n} $ を求解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密に楕円型方程式の密度の局所的解析的展開を、金融モデルに一般的に現れる (ミクロ) 超楕円型および半楕円型PDEへと拡張可能か？
• RQ2 有界領域内において、このような局所的展開が有効である最大の時間区間は何か？
• RQ3 これらの展開を用いて、アメリカン・オプション・プライシングや低次元市場モデルのための高次精度数値スキームを設計可能か？
• RQ4 ミクロ-超楕円型作用素の文脈において、自由境界問題の反復スキームが収束する条件は何か？
• RQ5 厳密に楕円型作用素に対する正則性と収束結果を、次元が低い部分空間上でHörmander条件を満たす作用素へとどの程度一般化可能か？

主な発見

• 形が $ p(t,x;0,y) = \frac{1}{(4\pi t)^{n/2}} \exp\left(-\frac{d_R^2(x,y)}{4t}\right) \left(\sum_{k=0}^{\infty} d_k(x,y) t^k\right) $ である局所的解析的展開は、厳密に楕円型方程式に対して有効であり、高次近似の基盤を提供する。
• Hörmander条件が次元 $ d \leq n $ の部分空間上で満たされる場合、反復スキーム $ v^n $ を構築することで、この展開が (ミクロ) 超楕円型方程式へと拡張可能である。
• 局所的展開の有効性が保証される時間区間は下限によって制限され、反復スキームの適応型Banach空間における収束を保証する。
• ミクロ-超楕円型作用素 $ L = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^m A_i^2 u + A_0 u $ の文脈において、スキームの収束性と正則性が確立された。ここでベクトル場 $ A_i $ は $ \mathbb{R}^d \subset \mathbb{R}^n $ 上でHörmander条件を満たす。
• 本手法により、Hestonモデルやアメリカン・オプションのフロント・フィクシングスキームにおけるギリシャ・プレミアムおよび価格関数の高精度計算が可能となった。
• 漸近的解析により、$ t \downarrow 0 $ の近傍で $ \sqrt{t} F_t $ が有界であることが確認され、反復スキームの初期時刻近傍における安定性が裏付けられた。