[論文レビュー] On local geometry of vector distributions with given Jacobi symbols

Boris Doubrov, Igor Zelenko|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、括弧生成ベクトル分布の離散的で分類可能な不変量としてのヤコビ記号を導入し、与えられたヤコビ記号を持つ分布に対して一様な代数的構成法により標準フレーム（絶対平行性）を構成可能にする。有限型の分布に対しては有限の延長手続きを確立し、シンプレクティックに平坦なモデルを最大対称的代表と特定するとともに、得られる延長代数をフラッグ曲線の対称性の標準的延長と関連づけ、特に有理正規曲線の接線・接線付加多様体に消失する多項式イデアルを通じて関連付ける。

ABSTRACT

Based on the ideas of Optimal Control, we introduce the new basic characteristic of a bracket generating distribution, the Jacobi symbol. In contrast to the classical Tanaka symbol, the set of Jacobi symbols is discrete and classifiable. We give an explicit and unified algebraic procedure for the construction of the canonical frames (the structure of absolute parallelism) for all distribution with given Jacobi symbol. We describe all Jacobi symbols for which this procedure ends up in a finite number of steps (i.e. all Jacobi symbols of finite type) and distinguish the symplectically flat distributions with given Jacobi symbol, which in the case of finite type are the maximally symmetric distribution among all distribution with given Jacobi symbol. Also, for the most of Jacobi symbols we relate the prolongation procedure and the resulting prolongation algebra, which is the algebra of infinitesimal symmetries of the corresponding symplectically flat distribution, to the standard (in the sense of Kobayashi and Sternberg) prolongation of certain subspace in the algebra of infinitesimal symmetries of the flat (unparametrized) curve of flags associated with the Jacobi symbol. Finally, we give an upper bounds for the size of the resulting prolongation algebra in terms of certain spaces of polynomials vanishing on certain projective varieties. For some class of Jacobi symbols we are able to identify the resulting prolongation algebra with such spaces of polynomials. In this way we get the description of the prolongation algebra for all Jacobi symbols of finite type appearing in rank 2 and rank 3 distributions and also for most of such Jacobi symbols appearing in rank 4 distributions. In particular, in the case of rank 3 distributions this description is given in terms of the tangential developable and the secant varieties of a rational normal curve.

研究の動機と目的

• 括弧生成ベクトル分布に対して、より複雑で分類が難しいタナカ記号に代わる、新しい離散的で分類可能な不変量（ヤコビ記号）を定義すること。
• 与えられたヤコビ記号を持つすべての分布に対して、一様で代数的な手順により標準フレーム（絶対平行性）を構成すること。
• ヤコビ記号が有限型である、すなわち延長手続きが有限ステップで終了するものについて、その分類を行うこと。
• 与えられたヤコビ記号を持つ分布の中で、シンプレクティックに平坦な分布が最大対称的モデルであることを特定すること。
• シンプレクティックに平坦なモデルの延長代数を、平坦なフラッグ曲線の対称代数の標準的延長と関連づけ、特にパラメトライズド対称性に制限を加えること。

提案手法

• シンプレクティフィケーション手順から導かれる離散的不変量としてヤコビ記号を導入し、同値問題をシンプレクティックフラッグ曲線の外在的幾何に還元すること。
• 最適制御にインspiredした技法を用いてヤコビ記号を定義し、局所微分同相同値に関しての不変性を確立すること。
• ヤコビ記号に基づく一様な代数的延長手続きにより標準フレームを構成し、タナカ記号の分類を避けること。
• シンプレクティックに平坦なモデルの延長代数を、平坦な未パラメトライズドフラッグ曲線の対称代数の標準的延長と関連づけること。
• 延長代数を、特に有理正規曲線の接線・接線付加多様体に消失する同次多項式空間と特定すること。
• 理論をランク2、3、およびほとんどのランク4分布に適用し、接線多様体の行列式イデアルとして延長代数を明示的に計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 括弧生成分布に対して、タナカ記号に代わる離散的で分類可能な不変量（ヤコビ記号）を定義可能であり、一様な標準フレーム構成を可能にするか？
• RQ2 どのヤコビ記号に対して延長手続きが有限ステップで終了する（有限型）か、そしてその特徴は何か？
• RQ3 与えられたヤコビ記号を持つシンプレクティックに平坦な分布が、そのようなすべての分布の中で最大対称的モデルであるか？
• RQ4 シンプレクティックに平坦なモデルの延長代数は、平坦なフラッグ曲線の対称代数の標準的延長とどのように関連しているか？
• RQ5 延長代数は、例えば有理正規曲線の接線多様体や接線付加多様体に消失する多項式空間として、明示的に代数幾何学的に記述可能か？

主な発見

• ヤコビ記号は、括弧生成ベクトル分布の離散的で分類可能な不変量であり、タナカ記号に代わるより取り扱いやすい代替手段を提供する。
• 与えられたヤコビ記号を持つすべての分布に対して、分岐や分類の問題を避ける一様で代数的な標準フレーム構成手順が確立された。
• ヤコビ記号が有限型である場合、シンプレクティックに平坦な分布は、その記号を持つすべての分布の中で最大対称的モデルである。
• 長方形ヤング図形を持つランク3分布に対しては、延長代数は $\mathfrak{sl}_2 \times \mathfrak{gl}_2$ と $E_1 \otimes \mathbb{R}^2$ 上の作用と同型であり、$n > 6$ のとき第一階層の延長が消える。
• ランク2、3、およびほとんどのランク4の有限型ヤコビ記号に対して、延長代数は有理正規曲線の接線多様体に消失する多項式イデアルを用いて明示的に記述可能である。
• $n=6$ の場合、延長代数は $\mathfrak{so}(4,3)$ と同型であり、既存の文献結果と整合的である。