[論文レビュー] On local scale invariance and the questionable theoretical basis of the conformal transformations' issue

Israel Quirós, Roberto De Arcia|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2018

Advanced Theoretical and Applied Studies in Material Sciences and Geometry被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、スカラー・テンソル重力理論における共形フレーム等価性の理論的基盤に挑戦し、ブラーンス＝ディック理論や類似理論が物質と結合する際の異常により、真に共形不変ではないことを示している。真の共形不変性を支持できるのは、点ごとにスケール単位が変化するウェイル統合可能時空に限られ、これにより物理的に同等だが異なる宇宙やワームホール解が得られ、特異点が解消される。これにより、従来の定式化における長年のパラドックスが解消される。

ABSTRACT

Here we follow the mainstream of thinking about physical equivalence of different representations of a theory, regarded as the consequence of invariance of the laws of physics -- represented by an action principle and the derived motion equations -- under given transformations; be it coordinate, gauge or conformal transformations. Accordingly the conformal transformations' issue is discussed by invoking the assumed invariance of the laws of physics -- in particular the laws of gravity -- under conformal transformations of the metric. It is shown that Brans-Dicke and scalar-tensor theories are not well-suited to address physical equivalence of the conformal frames since the corresponding laws of gravity are not invariant under the conformal transformations or Weyl rescalings. The search for conformal symmetry leads us to explore the physical consequences of Weyl-invariant theories of gravity, that represent a natural arena where to discuss on physical equivalence of the conformally related representations. We show that conformal invariance of the action of a (supposedly conformal invariant) theory and of the derived motion equations is not enough to ensure actual Weyl invariance. It is required, also, that the underlying geometrical structure of the background spacetime be, at least, Weyl-integrable. Otherwise, if assume (as usual) spacetimes of (pseudo)Riemannian geometrical structure, the resulting -- apparently conformal invariant -- theory is anomalous in that, only massless matter fields can be consistently coupled. Gauge freedom, a distinctive feature of actually Weyl-invariant theories of gravity, leads to very unusual consequences.

研究の動機と目的

• スカラー・テンソル重力理論における共形フレーム間の物理的等価性という広く受け入れられた概念に挑戦すること。
• 標準的（擬）リーマン時空において共形不変性を仮定する際の理論的欠陥を特定すること、特にブラーンス＝ディック理論やスカラー・テンソル理論において。
• スケール単位が点ごとに変化するウェイル統合可能幾何学に限って、重力理論において真の共形不変性を一貫して支持できることを確立すること。
• 特異点のないワームホールなど、パラドキシカルな物理的結果が、異常なしの共形不変理論から自然に生じることを示し、それらを解消すること。
• ウェイル対称性下での物理的意味を明確化し、数学的等価性と物理的整合性の区別をなすこと。

提案手法

• 計量 $ g_{\mu\nu} \to \Omega^{-2}g_{\mu\nu} $ における共形スケーリングの下での幾何的対象（クリスティオーデル接続、リッチテンソル、スカラー曲率）の変換則を分析する。
• 共形変換下でのエインシュタインテンソルおよびスカラー場のダランベール作用素の変換を導出し、場の運動方程式の不変性を評価する。
• 共形不変性の作用素の不変性だけでは不十分であり、真のウェイル対称性が成立するためには、時空がウェイル統合可能でなければならないことを同定する。
• 量子場理論における有限な行列要素の要請（キャランの議論による）を適用し、量子補正が非最小結合を誘発することを示し、初期からスカラー・テンソル理論が必然であることを示す。
• ウェイル統合可能重力理論における宇宙論的および球対称解を検討し、物理的結果（複数の同等の宇宙、特異点のないワームホールなど）を探索する。
• 超曲面上の外挿曲率の変換を用いて境界項および正準形式における整合性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー・テンソル重力理論における共形フレーム間の物理的等価性は有効な概念であるのか、それとも理論的欠陥に基づく誤った基礎に立っているのか？
• RQ2 ブラーンス＝ディック理論のような標準的スカラー・テンソル理論は、作用素の不変性が見られるにもかかわらず、なぜ真の共形不変性を支持できないのか？
• RQ3 理論が真正に共形不変であるためにはどのような幾何的構造が必要であり、なぜ（擬）リーマン幾何学では不十分なのか？
• RQ4 宇宙論およびブラックホール物理学において、ウェイル不変重力理論がもたらす物理的結果は何か？
• RQ5 量子場理論における有限な行列要素の要請が、スカラー・テンソル重力理論の出現にどのように導くのか？

主な発見

• ブラーンス＝ディック理論や標準的スカラー・テンソル理論は、物質と結合する際の異常により、共形不変でない。これは、場の運動方程式がウェイルスケーリングに対して不変でないためである。
• スケール単位が点ごとに変化するウェイル統合可能時空に定義された理論に限って、真の共形不変性が一貫して支持され、フレーム間の物理的等価性が成立する。
• ウェイル統合可能重力理論において、宇宙の膨張は一意に決定されない。代わりに、無限に多くの物理的に同等な共形宇宙が存在し、『どの宇宙が我々の宇宙か』という問いが意味を持つ。
• 共形不変重力理論における静的かつ球対称なブラックホールは、特異点のないワームホールと物理的に同等である。これは、標準的スカラー・テンソル理論では得られない結果である。
• 量子場理論における有限な行列要素の要請により、ストレステンソルを修正する必要があり、これにより非最小結合が誘発され、初期からスカラー・テンソル理論が必然である。これにより、純粋な一般相対性理論にスカラー場を追加するという仮定は無効になる。
• 作用素の共形不変性だけでは不十分であり、異常を回避し、物質場の整合的結合を保証するためには、基礎となる時空幾何学がウェイル統合可能でなければならない。