[論文レビュー] On Minimal Valid Inequalities for Mixed Integer Conic Programs

Fatma Kılınç-Karzan|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2014

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非負 orthant、Lorentz 銳、正定値半定値錐といった一般の正錐を用いた混合整数コンパクトプログラム（MICPs）における最小有効不等式の統一的枠組みを提案する。K-最小不等式を定義し、それらに加えて錐によって導かれる不等式が、やや弱い仮定のもとで凸包を記述することを示し、混合整数線形プログラミング（MILP）の結果を一般化するとともに、サポート関数を通じて新たな代数的・幾何的特徴づけを明らかにする。

ABSTRACT

We study disjunctive conic sets involving a general regular (closed, convex, full dimensional, and pointed) cone K such as the nonnegative orthant, the Lorentz cone or the positive semidefinite cone. In a unified framework, we introduce K-minimal inequalities and show that under mild assumptions, these inequalities together with the trivial cone-implied inequalities are sufficient to describe the convex hull. We study the properties of K-minimal inequalities by establishing algebraic necessary conditions for an inequality to be K-minimal. This characterization leads to a broader algebraically defined class of K- sublinear inequalities. We establish a close connection between K-sublinear inequalities and the support functions of sets with a particular structure. This connection results in practical ways of showing that a given inequality is K-sublinear and K-minimal. Our framework generalizes some of the results from the mixed integer linear case. It is well known that the minimal inequalities for mixed integer linear programs are generated by sublinear (positively homogeneous, subadditive and convex) functions that are also piecewise linear. This result is easily recovered by our analysis. Whenever possible we highlight the connections to the existing literature. However, our study unveils that such a cut generating function view treating the data associated with each individual variable independently is not possible in the case of general cones other than nonnegative orthant, even when the cone involved is the Lorentz cone.

研究の動機と目的

• 一般の正錐を含む混合整数コンパクトプログラムにおける最小有効不等式の統一的枠組みを構築すること。
• K-最小不等式を代数的に特徴づけ、それらを劣線形関数およびサポート関数と関連付けること。
• 混合整数線形プログラミングにおける既知の結果を、特に区分的線形劣線形関数の役割を含めて、錐の場合に一般化すること。
• 非負 orthant を超えて、特にLorentz 銳および半定値錐において、K-最小不等式の構造と有限性を調査すること。
• MICPs における有効不等式のK-最小性およびK-劣線形性を確認するための実用的条件を提供すること。

提案手法

• 正錐 K と有限個の制約から定義される分岐コンパクト集合に対する K-最小不等式の概念を導入する。
• K-劣線形不等式を、正同次性、劣加法性、および凸性を満たす K-最小不等式を含むより広いクラスとして定義する。
• 特定の凸集合のサポート関数との間の関係を確立し、K-劣線形不等式の実用的検証を可能にする。
• このサポート関数との関係を用いて、非多面体錐に対しても K-最小性および K-劣線形性の十分条件を導出する。
• すべての関連する線形不等式が K-最小であることを要件とする形で、K-最小性の概念をコンパクト不等式へと拡張する。
• この枠組みを用いて古典的なMILPの結果を再現し、K-劣線形関数が K が非負 orthant のとき、区分的線形、正同次、劣加法的かつ凸関数に還元されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負 orthant を超えて一般の正錐について、K-最小不等式を代数的に特徴づけることは可能か？
• RQ2 K-劣線形不等式と構造的凸集合のサポート関数との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 MICPs において、与えられた不等式の K-最小性または K-劣線形性を確認するための実用的十分条件は存在するか？
• RQ4 非多面体錐をもつ場合、分岐コンパクト集合の凸包を記述するために必要な K-最小コンパクト不等式の数は有限か？
• RQ5 MILP で有効であったカット生成関数アプローチは、Lorentz 銳のような非 orthant 錐を含む MICPs へと一般化可能か？

主な発見

• K-最小不等式と錐によって導かれる不等式の両方が、やや弱い仮定のもとで分岐コンパクト集合の凸包を記述するのに十分である。
• K が非負 orthant のとき、すべての K-劣線形不等式は、区分的線形、正同次、劣加法的かつ凸関数によって生成され、古典的なMILPの結果が回復される。
• K-劣線形不等式と特定の凸集合のサポート関数との強い関係が確立され、K-最小性の実用的検証が可能になる。
• Lorentz 銳 L^3 のような非多面体錐では、凸包が無限個の極端な線形不等式を必要とすることがあるが、同じタイプのコンパクト不等式は有限個で十分である。
• この枠組みにより、MILP のカット生成関数のように、変数ごとに独立してデータを扱うことは、非負 orthant 以外の錐では一般には不可能であることが明らかになった。
• 本稿は、K-最小性および K-劣線形性のための新たな十分条件を提供しており、MILP の文脈においても新規である。