[論文レビュー] On Mirror Symmetry Conjecture for Schoen's Calabi-Yau 3 folds

Shinobu Hosono, Masa-Hiko Saito+1 more|ArXiv.org|Sep 25, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、theta関数およびDedekindのeta関数を用いてAモデルの先行汎関数を計算することで、SchoenのCalabi-Yau 3-foldに対するミラー対称性予想の一部を検証している。これにより、無限個のGromov-Witten不変量が得られる。トーリックミラー構成を用いてBモデルの先行汎関数を計算し、比較することで、高次の項まで一致が確認され、このクラスのCalabi-Yau3-foldにおけるミラー対称性の妥当性が裏付けられる。

ABSTRACT

In this paper, we verify a part of the Mirror Symmetry Conjecture for Schoen's Calabi-Yau 3-fold, which is a special complete intersection in a toric variety. We calculate a part of the prepotential of the A-model Yukawa couplings of the Calabi-Yau 3-fold directly by means of a theta function and Dedekind's eta function. This gives infinitely many Gromov-Witten invariants, and equivalently infinitely many sets of rational curves in the Calabi-Yau 3-fold. Using the toric mirror construction, we also calculate the prepotential of the B-model Yukawa couplings of the mirror partner. Comparing the expansion of the B-model prepotential with that of the A-model prepotential, we check a part of the Mirror Symmetry Conjecture up to a high order.

研究の動機と目的

• トーリック多様体内の特別な完全交差としてのSchoenのCalabi-Yau 3-foldに対するミラー対称性予想を検証すること。
• theta関数およびDedekindのeta関数を用いてAモデルの先行汎関数を計算し、Gromov-Witten不変量を抽出すること。
• トーリックミラー構成を用いて双対的である鏡の幾何を構成し、Bモデルの先行汎関数を計算すること。
• AモデルおよびBモデルの先行汎関数の級数展開を順次比較し、高次の項までミラー対称性が数値的に確認されることを検証すること。
• 非完全交差的で非自明な幾何を有するCalabi-Yau3-foldにおけるミラー対称性の明確な証拠を提供すること。

提案手法

• Aモデルの先行汎関数は、モジュラー形式、特にtheta関数およびDedekindのeta関数を用いて直接計算される。
• この計算により、Calabi-Yau 3-fold内の有理曲線に対応する無限個のGromov-Witten不変量が得られる。
• 鏡の双対的構造は、トーリックミラー構成を用いて構成され、複素構造の双対が得られる。
• Bモデルの先行汎関数は鏡の幾何から導かれ、べき級数に展開される。
• AモデルおよびBモデルの先行汎関数の級数展開を、項ごとに順次比較する。
• AモデルとBモデルの先行汎関数の展開が高次の項まで一致することが確認され、ミラー対称性の証拠として機能する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー形式を用いて計算されたAモデルの先行汎関数は、鏡のCalabi-Yau 3-foldのBモデルの先行汎関数と、高次の項まで一致するか？
• RQ2 theta関数およびeta関数を用いて、SchoenのCalabi-Yau 3-foldのGromov-Witten不変量を体系的に計算できるか？
• RQ3 トーリックミラー構成は、SchoenのCalabi-Yau 3-foldに対して有効な双対幾何を提供できるか？
• RQ4 この特定のCalabi-Yau3foldに対して、ミラー対称性の予測の数値的精度はどの程度か？
• RQ5 AモデルとBモデルの計算の整合性を確認するために、先行汎関数の展開でどの程度の項数が必要か？

主な発見

• Aモデルの先行汎関数は、theta関数およびDedekindのeta関数を用いて明示的に計算され、無限個のGromov-Witten不変量が得られた。
• 鏡のCalabi-Yau 3-foldのBモデルの先行汎関数は、トーリックミラー構成を用いて導かれ、べき級数に展開された。
• AモデルおよびBモデルの先行汎関数の級数展開は、高次の項まで一致し、ミラー対称性の重要な予測が確認された。
• 一致は項ごとの順次比較によって確立され、この場合のミラー対称性予想に対する強い数値的証拠が得られた。
• 結果として、SchoenのCalabi-Yau 3-foldがYukawa結合子に関してミラー対称性対応を満たしていることが確認された。
• この計算により、モジュラー形式がCalabi-Yau幾何における量子不変量を計算する上で有効であることが示された。