[論文レビュー] On modular semifinite index theory

Jens Kaad|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、KMS状態と量子群を組み込んだ、一般化されたねじれスペクトル三重項を定義することで、モジュラー半有限インデックス理論の新しい枠組みを提示する。2つの関連するトレースを用いたねじれインデックスペアリングを確立し、量子SU(2)における縮小されたチェーン特性の局所公式を、ヘア状態のねじれコバウンダリーとして示し、半有限フォン・ノイマン代数上の重みに対する導来$L^p$-空間を構成する。

ABSTRACT

We propose a definition of a modular spectral triple which covers existing examples arising from KMS-states, Podles sphere and quantum SU(2). The definition also incorporates the notion of twisted commutators appearing in recent work of Connes and Moscovici. We show how a finitely summable modular spectral triple admits a twisted index pairing with unitaries satisfying a modular condition. The twist means that the dimensions of kernels and cokernels are measured with respect to two different but intimately related traces. The twisted index pairing can be expressed by pairing Chern characters in reduced versions of twisted cyclic theories. We end the paper by giving a local formula for the reduced Chern character in the case of quantum SU(2). It appears as a twisted coboundary of the Haar-state. In particular we present an explicit computation of the twisted index pairing arising from the sequence of corepresentation unitaries. As an important tool we construct a family of derived integration spaces associated with a weight and a trace on a semifinite von Neumann algebra.

研究の動機と目的

• フォン・ノイマン代数上の重みとトレースを用いて、半有限設定へのねじれスペクトル三重項の一般化を達成する。
• 核と余核の次元を2つの関連するトレースで測定するねじれインデックスペアリングを定義する。
• モジュラーフレドホルムモジュールの縮小されたねじれ循環理論におけるチェーン特性を構成する。
• 量子SU(2)の場合における縮小されたチェーン特性の局所公式を提示し、それがヘア状態のねじれコバウンダリーであることを示す。
• KMS状態、ポドルェスの球面、量子SU(2)の既知の例を、単一のモジュラー枠組みで統一する。

提案手法

• 半有限フォン・ノイマン代数上の重み$\phi$と、1パラメータ自己同型群の固定点代数に付随するディラック作用素を用いて、モジュラースペクトル三重項を定義する。
• 半有限フォン・ノイマン代数上の重みとトレースに関連する導来積分空間（導来$L^p$-空間）を導入する。
• ねじれ共役子$[D', x]_{\theta}$（$\theta = \sigma_{-i}$）を用いて、モジュラーフレドホルムモジュールとそのチェーン特性を定義する。
• 縮小されたねじれ循環コホモロジーにおけるチェーン特性のペアリングを通じて、ねじれインデックスペアリングを表現する。
• 量子SU(2)の場合における縮小されたチェーン特性を構成し、それがヘア状態のねじれコバウンダリーとして生じることを示す。
• コアプレゼンテーションユニタリに対して、フレームワークを用いてねじれインデックスペアリングを明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重みをトレースの代わりに用いることで、ねじれ共役子とインデックスペアリングを半有限設定に一般化する方法は何か？
• RQ2 モジュラー自己同型群$\sigma_t$は、非コンパクトなリゾルベントに対して一貫性のあるインデックス理論を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 モジュラースペクトル三重項のチェーン特性はねじれ循環コホモロジーで表現可能であり、それが縮小理論とどのように関係するか？
• RQ4 量子SU(2)におけるチェーン特性の局所公式は、ヘア状態のねじれコバウンダリーとしてどのように現れるか？
• RQ5 既知の例（KMS状態、ポドルェスの球面、量子SU(2)）は、どの程度単一のモジュラースペクトル三重項枠組みに統合可能か？

主な発見

• 有限可summableなモジュラースペクトル三重項に対して、ねじれインデックスペアリングは核と余核の次元が2つの関連するトレースで測定される形で、well-definedである。
• 量子SU(2)におけるモジュラーユニタリの縮小チェーン特性は、ヘア状態のねじれコバウンダリーであることが示され、公式$\textup{Ch}_{φ}(u^l) = b_{\sigma_i}([u^l] \otimes_{M_k(\mathbb{C})} [(u^l)^*])$により明示的に計算されている。
• 量子SU(2)において、コアプレゼンテーションユニタリとのねじれインデックスペアリングは、明示的な値$\frac{C}{2}\big{(}2l+1 - [2l+1]_{q^{1/2}}\big{)}$をもたらし、非自明なインデックス不変量を示している。
• ポドルェスの球面上のスペクトル三重項は、重み$\phi$に関して3-summableなモジュラースペクトル三重項であることが示され、そのチェーン特性は$H^2_{\lambda}(\mathcal{A}(S_q^2)/\mathbb{C}, \sigma_i^F)$に属する。
• ポドルェスの球面の非縮小チェーン特性は、[Krä08]における基本的ホッホシュィルド類と一致すると予想されており、深いコホモロジー的整合性を示唆している。
• 導来$L^p$-空間の構成は、特に半有限設定において、重みとトレースを解析するための新しい技術的ツールを提供している。