[論文レビュー] On multi F-nomial coefficients and Inversion formula for F-nomial coefficients

Maciej Dziemiańczuk|ArXiv.org|Jun 23, 2008

semigroups and automata theory参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、コブウェブ層ごみ順序集合の枠組みにおいて、F-二項係数の一般化として多重F-二項係数を導入し、層ごみ順序集合における最大互いに素なブロックの数としての組合せ的解釈を提供する。F-コブウェブ適応列のすべてに対して有効な普遍的な逆公式を導出し、二項係数、ガウス係数、フィボナッチ二項係数の既知の結果を統一し、この一般化された枠組みを通じて新たな恒等式を導く。

ABSTRACT

In response to [6], we discover the looked for inversion formula for F-nomial coefficients. Before supplying its proof, we generalize F-nomial coefficients to multi F-nomial coefficients and we give their combinatorial interpretation in cobweb posets language, as the number of maximal-disjoint blocks of the form sP_{k_1,k_2,...,k_s} of layer Phi_n>. Then we present inversion formula for F-nomial coefficients using multi F-nomial coefficients for all cobweb-admissible sequences. To this end we infer also some identities as conclusions of that inversion formula for the case of binomial, Gaussian and Fibonomial coefficients.

研究の動機と目的

• 組合せ論への広範な適用可能性を高めるために、F-二項係数を多重F-二項係数に一般化すること。
• コブウェブ層ごみ順序集合における最大互いに素なブロックとして、多重F-二項係数の組合せ的解釈を提供すること。
• すべてのF-コブウェブ適応列に対して有効なF-二項係数の普遍的な逆公式を導出すること。
• 既知の二項係数、ガウス係数、フィボナッチ二項係数の逆恒等式を統一・一般化すること。
• 得られた逆公式と第一種・第二種のウィットニー数との関係を確立すること。

提案手法

• n を s 個の正の整数に分割するための式 ${n\brace k_1,k_2,\textellipsis,k_s}_F = \frac{n_F!}{(k_1)_F! \cdot (k_2)_F! \cdot \textellipsis \cdot (k_s)_F!}$ を用いて、多重F-二項係数を導入する。
• 組合せ的解釈として、コブウェブ層ごみ順序集合の層 $\langle \Phi_1 \to \Phi_n \rangle$ 内の、最大互いに素な等位型コピー $\sigma P_{k_1,k_2,\textellipsis,k_s}$ の数を示す。
• 係数 $\lambda_{k_j}$ を用いて $n_F = \sum_{j=1}^s \lambda_{k_j} \cdot (k_j)_F$ を満たす $F$-コブウェブ適応列を定義し、多重F-二項係数が自然数であることを保証する。
• 包含除算法を用いた分割の上での逆公式を導出し、$\sum_{j=1}^{n-k-1} (-1)^j \sum_{\substack{k_1+\cdots+k_{j+1}=n-k \\ k_i \geq 1}} {n \brace k,k_1,\textellipsis,k_{j+1}}_F + \text{符号補正項} = 0$ を示す。
• 逆公式を適用して、第一種および第二種のウィットニー数の恒等式を導出し、$\Phi_n(x) = \sum_k {n \brace k}_F^{-1} x^k \Leftrightarrow x^n = \sum_k {n \brace k}_F \Phi_k(x)$ を通じて多項式列と関連付ける。
• 具体的な列に対して公式を検証する：自然数列（$n_F = n$）、ガウス整数列（$n_F = \frac{1-q^n}{1-q}$）、フィボナッチ数列（$n_F = F_n$）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コブウェブ層ごみ順序集合の文脈において、F-二項係数をどのように多重F-二項係数に一般化できるか？
• RQ2 コブウェブ層ごみ順序集合における最大互いに素なブロックとしての多重F-二項係数の組合せ的意味は何か？
• RQ3 すべてのF-コブウェブ適応列に対して有効なF-二項係数の普遍的逆公式を導出できるか？
• RQ4 導出された恒等式は、二項係数、ガウス係数、フィボナッチ二項係数の既知の結果をどのように回復または一般化するか？
• RQ5 逆公式から得られる多項式列は何か？そして、それらの閉形式は導出可能か？

主な発見

• 多重F-二項係数 ${n \brace k_1,k_2,\textellipsis,k_s}_F$ は、コブウェブ層ごみ順序集合の層 $\langle \Phi_1 \to \Phi_n \rangle$ 内の最大互いに素な等位型コピー $\sigma P_{k_1,k_2,\textellipsis,k_s}$ の数を数える。
• F-二項係数の逆公式は $\sum_{j=1}^{n-k-1} (-1)^j \sum_{\substack{k_1+\cdots+k_{j+1}=n-k \\ k_i \geq 1}} {n \brace k,k_1,\textellipsis,k_{j+1}}_F + \text{符号補正項} = 0$ として確立され、すべてのF-コブウェブ適応列に対して有効である。
• 自然数列（$n_F = n$）に対して、逆は ${n \brace k}_F^{-1} = (-1)^{n-k} {n \choose k}$ であり、古典的な二項係数の逆公式を回復する。
• ガウス列（$n_F = \frac{1-q^n}{1-q}$）に対して、逆は ${n \brace k}_F^{-1} = (-1)^{n-k} {n \choose k}_q q^{\binom{n-k}{2}}$ であり、ガウス二項係数の逆公式を一般化する。
• フィボナッチ列（$n_F = F_n$）に対して、逆公式は明示的な多項式 $\Phi_n(x)$ を生成し、$\Phi_0(x)=1$、$\Phi_1(x)=x-1$、$\Phi_2(x)=x^2-x$、$\Phi_3(x)=x^3-2x^2+1$ などとなるが、閉形式は未だ不明である。
• 逆公式はウィットニー数の恒等式を統一し、$W_{ij}$ がF-二項係数で $w_{ij}$ がその符号付き逆行列であるような順序集合では $\left[W_{ij}\right] \ast \left[w_{ij}\right] = \delta_{i,j}$ が成り立つことを示す。