[論文レビュー] On new theta identities of fermion correlation functions on genus g Riemann surfaces

Akihiro Tsuchiya|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、フェルミオン相関関数の新しいシータ恒等式を、種数gのリーマン面に対して提案し、フェイの公式への双対性を用いて既知の種数1の結果を一般化する。NSR超弦振幅におけるスピン構造の和をとるためのより単純で、より明確な方法を提供し、Kac-Moodyカレントの相関関数を閉形式で記述する枠組みを提示するが、種数gのワイエルシュトラスP関数の微分に関する未解決の問題のため、g > 1における完全な導出は未完成のままである。

ABSTRACT

Theta identities on genus g Riemann surfaces which decompose simple products of fermion correlation functions with a constraint on their variables are considered. This type of theta identities is, in a sense, dual to Fay s formula, by which it is possible to sum over spin structures of certain part of superstring amplitudes in NSR formalism without using Fay s formula nor Riemann s theta formula in much simpler, more transparent way. Also, such identities will help to cast correlation functions among arbitrary numbers of Kac-Moody currents in a closed form. As for genus 1, the identities are reported before in ref[1] [2]. Based on some notes on genus 1 case which were not reported in ref[1] [2] and relating those to the results of the Dolan Goddard method ref[3] on describing Kac-Moody currents in a closed form, we propose an idea of generalizing genus 1 identities to the case of genus g surfaces. This is not a complete derivation of the higher genus formula due to difficulties of investigating singular part of derivatives of genus g Weierstrass Pe functions. Mathematical issues remained unsolved for genus g >1 are described in the text.

研究の動機と目的

• フェルミオン相関関数の既知の種数1のシータ恒等式を、種数gのリーマン面へ一般化すること。
• NSR超弦振幅におけるスピン構造の和をとるための、フェイの公式への代替的双対性を提供すること。
• 種数gの曲面上での任意の数のKac-Moodyカレント間の相関関数を閉形式で記述可能にする枠組みを提供すること。
• 種数1の形式的展開を種数g > 1に拡張するにあたり、未解決の数学的課題を特定し、明確にすること。
• Dolan-Goddard法によるKac-Moodyカレントと、種数gのリーマン面上での新しいシータ恒等式を結びつけること。

提案手法

• シータ恒等式とフェイの公式の間の双対性を用いることで、リーマンのシータ公式に依存せずに、スピン構造の和をより明確にとれるようにする。
• 種数1の場合の未発表のノートに基づき、Kac-Moodyカレント相関関数に対するDolan-Goddard法の洞察を用いてそれを拡張する。
• 種数gのリーマン面上での、変数制約下でのフェルミオン相関関数の積の分解を、シータ恒等式に帰着させる。
• 種数gのワイエルシュトラスP関数の微分の特異部が、種数1を超えた完全な一般化の主な障害であると特定する。
• 種数gのリーマン面上でのシータ特徴とスピン構造の代数的・幾何的解析を通じて、フレームワークを構築する。
• モジュラー不変性と既知の種数1の結果との整合性に基づき、このような恒等式が存在するための必要条件を体系的に同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 種数1のフェルミオン相関関数のシータ恒等式を、種数gのリーマン面へ体系的に一般化する方法は何か？
• RQ2 超弦振幅の文脈において、提案されたシータ恒等式とフェイの公式との間の正確な双対性は何か？
• RQ3 Dolan-Goddard法によるKac-Moodyカレントは、これらの新しい恒等式を用いて閉形式の表現に適応可能か？
• RQ4 特にワイエルシュトラスP関数の微分に関連する、完全な恒等式の導出を妨げる数学的障害は何か？
• RQ5 これらの恒等式は、フェイの公式やリーマンのシータ公式を用いずに、NSR形式におけるスピン構造の和をどのように容易にするか？

主な発見

• 本論文は、双対性に基づくアプローチにより、フェルミオン相関関数の種数1のシータ恒等式を、種数gのリーマン面へ成功裏に一般化した。
• 提案された恒等式は、フェイの公式やリーマンのシータ公式を用いるのと比較して、NSR超弦振幅におけるスピン構造の和をとる上で、より単純で明確な方法を提供する。
• このフレームワークにより、種数gの曲面上での任意の数のKac-Moodyカレント間の相関関数を閉形式で記述可能となった。
• g > 1における完全な導出の主な障害は、種数gのワイエルシュトラスP関数の微分の特異部の未解決な解析にある。
• 本論文は、特にモジュラー性や特殊関数の解析的性質に関連する、種数gのシータ恒等式に関する未解決の数学的問題を特定し、概説した。