[論文レビュー] On Polynomial Kernels for Sparse Integer Linear Programs

Stefan Kratsch|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2013

Advanced Optimization Algorithms Research被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、変数の範囲が変数の数 n に対して多項式的に有界である場合、r-スパース整数線形計画法（ILP）の実行可能性は多項式カーネル化が可能であるが、範囲が有界でない場合には不可能であることを確立している。主な結果は、範囲が有界である条件下では、n + d（d は変数の最大範囲）の多項式時間でカーネル化が可能であるのに対し、範囲が無限大であると、NP ⊆ coNP/poly でない限り多項式カーネル化は不可能であることを示している。

ABSTRACT

Integer linear programs (ILPs) are a widely applied framework for dealing with combinatorial problems that arise in practice. It is known, e.g., by the success of CPLEX, that preprocessing and simplification can greatly speed up the process of optimizing an ILP. The present work seeks to further the theoretical understanding of preprocessing for ILPs by initiating a rigorous study within the framework of parameterized complexity and kernelization. A famous result of Lenstra (Mathematics of Operations Research, 1983) shows that feasibility of any ILP with n variables and m constraints can be decided in time O(c^{n^3} m^c'). Thus, by a folklore argument, any such ILP admits a kernelization to an equivalent instance of size O(c^{n^3}). It is known, that unless NP \subseteq coNP/poly and the polynomial hierarchy collapses, no kernelization with size bound polynomial in n is possible. However, this lower bound only applies for the case when constraints may include an arbitrary number of variables since it follows from lower bounds for Satisfiability and Hitting Set, whose bounded arity variants admit polynomial kernelizations. We consider the feasibility problem for ILPs Ax<= b where A is an r-row-sparse matrix parameterized by the number of variables. We show that the kernelizability of this problem depends strongly on the range of the variables. If the range is unbounded then this problem does not admit a polynomial kernelization unless NP \subseteq coNP/poly. If, on the other hand, the range of each variable is polynomially bounded in n then we do get a polynomial kernelization. Additionally, this holds also for the more general case when the maximum range d is an additional parameter, i.e., the size obtained is polynomial in n+d.

研究の動機と目的

• パrameterized 複雑性とカーネル化を用いて、整数線形計画法（ILP）の前処理の理論的限界を形式的に調査すること。
• 異なるパrameterization における r-スパース ILP 実行可能性が多項式カーネル化を受けるかどうかを特定すること。
• 特に変数の範囲の上限に関する条件が、カーネル化が可能または不可能となる正確な条件を同定すること。
• 実用的な ILP ソルバー（例：CPLEX）における前処理と、カーネル化における理論的保証のギャップを埋めること。

提案手法

• 論文は、各元の制約を、任意の r 変数に対してのみ不適切な点を除外する新しい制約の集合に置き換える還元技術を用いる。
• 各禁止点 (p₁,…,pᵣ) に対して、sᵢ と tᵢ の補助変数を導入し、(xᵢ − pᵢ) = sᵢ − d·tᵢ を満たすようにし、sᵢ ∈ {0,…,d−1} かつ tᵢ ∈ {0,1} とする。
• 少なくとも一つの sᵢ > 0 であることを制約 ∑sᵢ ≥ 1 で強制することで、禁止点が除外されることを保証する。
• 各禁止点に対して 3r 個の変数と 4r+1 個の制約を用い、係数は {−1,0,1,d} に限定することで、効率的な符号化が可能である。
• 新しい制約と変数の総数は O(dʳ·nʳ) で抑えられ、n と d の多項式としてのカーネルサイズが得られる。
• 正しさは、新しい制約を満たす任意の解が、すべての r 変数の部分集合について不適切な点を避ける必要があることから示され、結果として実行可能性が保持される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 r-スパース ILP 実行可能性が多項式カーネル化を受ける条件は何か？
• RQ2 変数の範囲が無限大であると、r-スパース ILP に対して多項式カーネル化が不可能になるのか？
• RQ3 最大変数範囲 d を追加パラメータとして扱うことで、多項式カーネル化が達成可能になるか？
• RQ4 CPLEX のような ILP ソルバーにおける前処理の有効性に、経験的観察を超えた理論的根拠はあるか？

主な発見

• 変数の範囲が無限大である場合、NP ⊆ coNP/poly でない限り、r-スパース ILP 実行可能性に対して多項式カーネル化は存在しない。
• 変数の範囲が n に対して多項式的に有界である場合、n + d の多項式としてのカーネルサイズを持つ多項式カーネル化が存在する。
• d を追加パラメータとして扱っても、カーネル化は有効であり、カーネルサイズは O(dʳ·nʳ) となる。
• 構成は各制約を O(dʳ·nʳ) 個の新しい制約と変数に置き換え、すべての係数が {−1,0,1,d} に限定されるため、効率的な符号化が可能である。
• 少なくとも一つの変数が禁止値から d 未満の差で逸脱することを強制することで、すべての不適切な r-組が正しく除外される。
• 全変換は多項式時間で実行され、実行可能性が保持されるため、有効なカーネル化が確立される。