[論文レビュー] On quantum groups associated to non-Noetherian regular algebras of dimension 2

Chelsea Walton, Xingting Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、グローバル次元2の非ノエター的アーツィン＝シュレーディンガー正則代数 $A(n,\mathbb{E})$ に作用する量子群の、ホモロジー的および環論的性質が、そのコモジュール代数の性質と一致することを調査している。主な結果として、ホモロジー的コデターミナントが自明であるとき、普遍的量子線形群 $\mathcal{O}_A(SL)$ はグローバル次元3のアーツィン＝シュレーディンガー正則かつスケア・カラビ＝ヤウ的であり、コデターミナントが中心的である場合には、$n=2$ である場合に限りノエター的かつ有限ギェルファンド＝キリロフ次元を持つ。

ABSTRACT

We investigate homological and ring-theoretic properties of universal quantum linear groups that coact on Artin-Schelter regular algebras A(n) of global dimension 2, especially with central homological codeterminant (or central quantum determinant). As classified by Zhang, the algebras A(n) are connected \N-graded algebras that are finitely generated by n indeterminants of degree 1, subject to one quadratic relation. In the case when the homological codeterminant of the coaction is trivial, we show that the quantum group of interest, defined independently by Manin and by Dubois-Violette and Launer, is Artin-Schelter regular of global dimension 3 and also skew Calabi-Yau (homologically smooth of dimension 3). For central homological codeterminant, we verify that the quantum groups are Noetherian and have finite Gelfand-Kirillov dimension precisely when the corresponding comodule algebra A(n) satisfies these properties, that is, if and only if n=2. We have similar results for arbitrary homological codeterminant if we require that the quantum groups are involutory. We also establish conditions when Hopf quotients of these quantum groups, that also coact on A(n), are cocommutative.

研究の動機と目的

• アーツィン＝シュレーディンガー正則代数に作用する量子群が、そのホモロジー的および環論的性質を継承するという予想を検証すること。
• グローバル次元2の非ノエター的AS正則代数に作用する普遍的量子線形群の構造を分析すること。
• これらの量子群がノエター的であるか、有限ギェルファンド＝キリロフ次元を持つ条件を特定すること。
• 代数のナカヤマ性と量子群の余可換性の間の対応関係を確立すること。

提案手法

• ManinおよびDubois-Violette-Launerによる、$A(n,\mathbb{E})$ に作用するホップ代数としての普遍的量子線形群の構成の利用。
• Bichonによる $\mathcal{B}(\mathbb{E})$ のホモロジー的性質の結果の応用により、$\mathcal{O}_A(SL)$ がグローバル次元3のアーツィン＝シュレーディンガー正則かつスケア・カラビ＝ヤウ的であることを証明。
• $\mathbb{E}$ の行列同倣による分類により、$A(n,\mathbb{E})$ のナカヤマ性およびパワー中心的ナカヤマ性を特定。
• ホモロジー的コデターミナントの中心性を用いて、ホップ商の余可換性を分析。
• コ・モリタ同値の結果の応用により、$\mathcal{G}(\mathbb{X},\mathbb{Y})$ を標準的量子群 $\mathcal{O}_q(GL_2)$ などと関連付ける。
• $[3]$、$[33]$、$[35]$ の結果を活用し、代数的構造とホモロジー不変量との関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ノエター的2次元AS正則代数に作用する普遍的量子線形群が、アーツィン＝シュレーディンガー正則となる条件は何か？
• RQ2 量子群がスケア・カラビ＝ヤウ的またはインボリューショナルであるのはいつか？また、定義行列 $\mathbb{E}$ の対称性とはどのように関係するか？
• RQ3 どの $n$ と $\mathbb{E}$ に対して、量子群がノエター的かつ有限ギェルファンド＝キリロフ次元を持つのか？
• RQ4 ホモロジー的コデターミナントが中心的、または中心的元のべきであるとき、量子群の余可換性がどのように保証されるか？
• RQ5 代数が中心的ナカヤマ的またはパワー中心的ナカヤマ的であることを保証する $\mathbb{E}$ の正確な行列分類は何か？

主な発見

• ホモロジー的コデターミナントが自明であるとき、普遍的量子線形群 $\mathcal{O}_A(SL)$ はグローバル次元3のアーツィン＝シュレーディンガー正則かつスケア・カラビ＝ヤウ的である。
• ホモロジー的コデターミナントが中心的であるとき、量子群は $n=2$ である場合に限りノエター的かつ有限ギェルファンド＝キリロフ次元を持つ。
• $\mathbb{E}$ が対称的または反対称的で $n$ が偶数である場合、$\mathcal{O}_A(SL)$ はカラビ＝ヤウ的かつインボリューショナルである。
• 任意のホモロジー的コデターミナントを持つインボリューショナル量子群に対しては、$n=2$ のときのみ、同様の有限性およびノエター性の結果が成り立つ。
• 中心的ホモロジー的コデターミナントを持つホップ代数が $A(n,\mathbb{E})$ に作用するとき、$\mathbb{E}$ が $\mathbb{J}_n$ と $\mathbb{D}_{2r_i}(q_i)$ の直和に合同である場合、$H$ は余可換であり、$H$ が有限次元であるのは、群代数である場合に限る。
• $\mathbb{E}$ がこのような和に合同であり、すべての $e \geq 1$ に対して $\{q_i^{\pm e}\}$ が相異なる場合、$\sf{D}^m$ が中心的であるような $m \geq 1$ が存在するとき、$H$ は常に余可換である。