[論文レビュー] On rectifiable measures in Carnot groups: structure theory

Gioacchino Antonelli, Andrea Merlo|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 35被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、第一ヘイゼンベルク群 𝕍¹ において、接測度と密度条件を用いて定義される新しい可解性概念、𝔛ₕ-可解性を導入することで、1次元のプレス型可解性定理を確立する。正で有限な1次元密度を持つラドン測度は、接平面が正規補部分群を備えるという条件下で、ℝ から 𝕍¹ へのリプシッツ写像の像の可算和に台を持つことが示される。この条件は、カルノー群におけるすべての水平部分群に対して成り立つ。

ABSTRACT

In this paper we prove the one-dimensional Preiss' theorem in the first Heisenberg group $\mathbb H^1$. More precisely we show that a Radon measure $\phi$ on $\mathbb H^1$ with positive and finite one-density with respect to the Koranyi distance is supported on a one-rectifiable set in the sense of Federer, i.e., it is supported on the countable union of the images of Lipschitz maps $A\subseteq \mathbb R o\mathbb H^1$. The previous theorem is a consequence of a Marstrand-Mattila type rectifiability criterion, which we prove in arbitrary Carnot groups for measures with tangent planes that admit a normal complementary subgroup. Namely, in this co-normal case, even if we a priori ask that the tangent planes at a point might rotate at different scales, a posteriori the measure has a unique tangent almost everywhere. Since every horizontal subgroup has a normal complement, our criterion applies in the particular case of one-dimensional horizontal subgroups. These results are the outcome of a detailed study of a new notion of rectifiability: we say that a Radon measure on a Carnot group is $\mathscr{P}_h$-rectifiable, for $h\in\mathbb N$, if it has positive $h$-lower density and finite $h$-upper density almost everywhere, and, at almost every point, it admits as tangent measures only (multiple of) the Haar measure of a homogeneous subgroup of Hausdorff dimension $h$. We also prove several structure properties of $\mathscr{P}_h$-rectifiable measures. First, we compare $\mathscr{P}_h$-rectifiability with other notions of rectifiability previously known in the literature in the setting of Carnot groups and we realize that it is strictly weaker than them. Furthermore, we show that a $\mathscr{P}_h$-rectifiable measure has almost everywhere positive and finite $h$-density whenever the tangents admit at least one complementary subgroup.

研究の動機と目的

• 密度および接測度の性質に基づき、カルノー群における新しい可解性概念、𝔛ₕ-可解性を定義する。
• 接平面が正規補部分群を備える場合に限り、正規性の仮定のもとでマールシュタンプ＝マティラ型の可解性基準を確立する。
• 第一ヘイゼンベルク群において、正で有限な1次元密度を持つ測度は1-可解集合に台を持つことを証明する。
• 𝔛ₕ-可解性とカルノー群における既存の可解性概念との関係を明確にする。
• 接測度が補部分群を備える場合、𝔛ₕ-可解測度は almost everywhere で正で有限な h-密度を持つことを示す。

提案手法

• 𝔛ₕ-可解性の概念を導入する：ラドン測度が almost everywhere で正の h-下界密度および有限な h-上界密度を持つとき、かつその接測度が h-次元の同調部分群のハール測度の倍数であるとき、その測度は 𝔛ₕ-可解であると定義する。
• 接平面が正規補部分群を備えるカルノー群では、接測度が almost everywhere で一意的であることを証明する。これは、接平面がスケールに依存して回転する可能性がある場合でも成り立つ。
• 正規補部分群の存在を用いて接平面の幾何的性質を制御し、接測度の一意性を導出する。
• 接測度理論および密度正則性理論を応用して、ヘイゼンベルク群における測度の構造を分析する。
• 𝔛ₕ-可解性をカルノー群における既存の可解性概念と比較し、それが厳密に弱いことを示す。
• 補部分群の条件が成り立つ場合、𝔛ₕ-可解測度は almost everywhere で正で有限な h-密度を持つことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正で有限な1次元密度を持つ測度に対して、ヘイゼンベルク群においてプレス型可解性定理を確立できるか？
• RQ2 接平面にどのような幾何的条件が満たされると、測度が almost everywhere で一意な接測度を持つようになるか？
• RQ3 新しい 𝔛ₕ-可解性の概念は、カルノー群において既に定義された可解性概念とどのように関係するか？
• RQ4 正規補部分群の存在が、接測度の一意性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 接測度の同調部分群が補部分群を備える場合、𝔛ₕ-可解性は almost everywhere で正で有限な h-密度を持つことを示唆するか？

主な発見

• コルニャイ距離に関して正で有限な1次元密度を持つ、第一ヘイゼンベルク群上のラドン測度は、1-可解集合に台を持つ。すなわち、ℝ から 𝕍¹ へのリプシッツ写像の像の可算和に台を持つ。
• 任意のカルノー群において、接平面が正規補部分群を備えるならば、接平面がスケールに依存して回転する可能性があっても、測度は almost everywhere で一意な接測度を持つ。
• 新しい 𝔛ₕ-可解性の概念は、カルノー群における既存の可解性概念よりも厳密に弱い。
• 𝔛ₕ-可解測度において、接同調部分群が補部分群を備えると、h-密度が almost everywhere で正で有限であることが示される。
• 共正規仮定のもとで、一般のカルノー群においてマールシュタンプ＝マティラ型の可解性基準が成り立つ。これにより、𝕍¹ における1次元結果の証明が可能になる。
• 第一ヘイゼンベルク群における1次元プレス定理は、一般基準の結果として導出され、カルノー群におけるすべての水平部分群が正規補部分群を備えるという事実を応用して得られる。