[論文レビュー] On Reeb graphs induced from smooth functions on closed or open manifolds

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、与えられた有限でループのない連結グラフを、所定の逆像トポロジーとやや穏やかな特異点を有する閉または開多様体上の滑らかな関数のリーブグラフとして実現する構成的技法を提示する。局所的なモース関数およびモース＝ボット関数の構成と制御されたハンドル付加を組み合わせることで、逆像が辺に応じてn次元球面からq個の互いに交わらない円板を除いたものに微分同相である(n+1)次元多様体上に、このような関数が存在することを証明する。ここでqは辺に非負整数を割り当てる関数lに依存する。

ABSTRACT

For a smooth function on a smooth manifold of a suitable class, the space of all connected components of preimages is the graph and called the {\it Reeb graph}. Reeb graphs are fundamental tools in the algebraic and differential topological theory of Morse functions and more general functions which are not so wild. In this paper, we study whether we can construct a smooth function with good geometric properties inducing a given graph as the Reeb graph. This problem has been essentially launched by Sharko in 2000s and various answers have been given by Masumoto, Michalak, Saeki, and so on. Recently the author set a new explicit problem and gave an answer. In the studies before the result of the author, considered functions are smooth functions on closed surfaces or Morse functions such that preimages of regular values are disjoint unions of standard spheres. On the other hand, the author constructed a smooth function on a suitable $3$-dimensional closed, connected and orientable manifold inducing the Reeb graph isomorphic to the given graph such that preimages of regular values are arbitrary closed surfaces. Based on this result and method of the author, with several new ideas, we will consider smooth functions on surfaces and manifolds which may be non-closed and give answers to the problem.

研究の動機と目的

• 与えられた有限で連結でループのないグラフが、所定の逆像トポロジーを有する多様体上の滑らかな関数のリーブグラフとして実現可能かどうかを特定すること。
• 従来の閉多様体に関する結果を、開多様体または非閉多様体に拡張すること、特に逆像が球面の互いに交わらない和よりもより一般な形をとることを許容すること。
• 各正則値の逆像が、関数lが辺に割り当てる非負整数qに従い、n次元球面からq個の互いに交わらない標準的円板を除いたものに微分同相となるような滑らかな関数を構成すること。
• 特異点は有限個の点を除き、すべてがモースまたはモース＝ボット特異点に制限され、やや穏やかな特異点型となるようにすること。
• レベル集合のトポロジーと特異点の性質を明示的に制御できる、構成的で幾何的な手法を提供すること。

提案手法

• 局所的パッチワークによる構成：グラフの各頂点に対して、(n+1)次元多様体上でのモースまたはモース＝ボット関数を用いた局所的モデルを構築し、局所的にリーブ空間がグラフと一致するようにする。
• 局所的極値を持たない頂点に対しては、区間上の自明な滑らかなバンドルを用い、n次元球面からq個の円板を除くことで逆像トポロジーを変更するように注意深く選ばれた局所関数に置き換える。
• 局所的極値を持つ頂点、特にl(e)=2である次数1の頂点に対しては、円板上の高さ関数と直線の積構成を用いて局所的挙動をモデル化する。
• 関数lは各辺に非負整数を割り当て、正則値の逆像トポロジーを得るためにn次元球面から除かれる円板の数を決定する。
• グローバル関数は、グラフ構造に従ってこれらの局所モデルを貼り合わせることで構成され、その結果得られる関数は滑らかであり、所望のリーブグラフを誘導する。
• 構成により、すべての有限個の特異点を除く点で、局所関数はモースまたはモース＝ボットであり、極値点ではそれらの関数の合成であることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限で連結でループのないグラフが、所定の逆像トポロジーを有する多様体上の滑らかな関数のリーブグラフとして実現可能か？
• RQ2 このような関数は、閉多様体に制限されていた従来の結果を拡張し、開多様体または非閉多様体上に構成可能か？
• RQ3 各辺に割り当てた非負整数qに従い、n次元球面からq個の円板を除いたものに対応するように、正則値の逆像のトポロジーを制御可能か？
• RQ4 関数の特異点は、有限個の点を除き、すべてがモースまたはモース＝ボット型に制限可能か？
• RQ5 局所モデルと貼り合わせ技法を用いて、明示的かつ幾何的な構成が可能か？

主な発見

• 任意の有限で連結でループのないグラフGと、辺に非負整数を割り当てる関数lに対して、(n+1)次元の連結で向き付け可能な多様体Mと滑らかな関数f:M→ℝが存在し、そのリーブグラフはGと同型である。
• l(e)=qを満たす辺e上の正則値の逆像は、n次元球面からq個の互いに交わらない標準的n次元円板を除いたものに微分同相であり、q=0は標準的n次元球面に、q=1はℝに一致する。
• リーブグラフ構造は同型写像φ:W_f→Gにより保たれ、各特異点pが頂点vに写される場合、f(p)=h(φ(v))を満たす。
• 有限個の特異点を除くすべての点で、局所関数はモースまたはモース＝ボットであり、やや穏やかな特異点型が保証される。
• 局所的極値点では、局所関数はモース、モース＝ボット、またはそれらの関数とモース関数の合成であり、特異点型の制御が保たれる。
• 構成は明示的で幾何的であり、標準的バンドルおよび高さ関数に基づく局所モデルを用い、従来の結果を開多様体および非閉多様体に拡張する。