[論文レビュー] On relative $K$-motives, weights for them, and negative $K$-groups

Mikhail V. Bondarko, A. Yu. Luzgarev|arXiv (Cornell University)|May 26, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、良い性質を持つ底層の上での相対Kモチーフのチョウ重構造を導入し、それらの重みを負のホモトピー不変K群に関連づける。K_i(Y) が i < -codim(Y) のとき消えることを示し、負のK群が -i の余次元に支持されることを証明する。ガブラーの特異点解消とエタールコホロジーを用いて重みを評価し、負のK理論に関するヴァイエルの予想を拡張する。

ABSTRACT

We study certain triangulated categories of $K$-motives $DK(-)$ over a wide class of base schemes, and define certain "weights" for them. We relate the weights of particular $K$-motives to (negative) homotopy invariant $K$-groups (tensored by $\mathbb{Z}[S^{-1}]$ for $S$ being the set of "non-invertible primes") $\mathcal{K}_*(-)$. Our results yield a (new) result on the vanishing of $\mathcal{K}_i(-)$ and of relative $\mathcal{K}$-groups for $i$ being "too negative"; this statement is closely related to a question of Ch. Weibel. We also prove that $\mathcal{K}_i(-)$ for $i&lt;0$ is "supported in codimension $-i$". Moreover, we establish several criteria for bounding (below) the weights of $f_*(1_Y)$ ($1_Y$ is the tensor unit in $DK(Y)$); this automatically implies the vanishing of the corresponding $E_2$-terms of Chow-weight spectral sequences (and of the factors of the corresponding Chow-weight filtrations) for any (co)homology of these motives. Our methods of bounding weights can be applied to various "motivic" triangulated categories; this yields some new statements on (constructible) complexes of étale sheaves. We also relate the weights of $K$-motives with rational coefficients to that of Beilinson motives; the Chow-weight spectral sequences converging to their $\mathbb{Q}_l$-étale (co)homology yield Deligne-type weights for the latter. Somewhat surprisingly, we are able to prove in certain ("extreme") cases that the corresponding weight bounds coming from étale (co)homology are precise. We illustrate these statements by simple examples.

研究の動機と目的

• Voevodskyモチーフの先行研究を拡張し、良い性質を持つ底層の上での相対Kモチーフに対するチョウ重構造を定義すること。
• Kモチーフ f_* (1_Y) の重みを、Z[S^{-1}] に係数をとった負のホモトピー不変K群に関連づけること。
• K_i(Y) が i < -codim(Y) のとき消えることを証明し、ヴァイエルの予想のカテゴリフィケーション版を支持すること。
• 重みの評価と解消技術を用いて、負のK群が -i の余次元に支持されることを確立すること。
• エタールコホロジーを通じてKモチーフとベイリンソンモチーフ、デリーニュ型重みを結びつけること。

提案手法

• 底層 S の上でのKモチーフの三角的圏 DK(S) を構成し、非可逆素数で局所化することで Λ-局所化K理論を形成する。
• モチーフ 1_Y の押し出しによる生成子を用いて DK(S) 上にチョウ重構造を定義する。
• ガブラーの特異点解消を用いて、特に有限型でないスキームの場合のKモチーフ f_* (1_Y) の重みを評価する。
• エタールコホロジーと降下技術を用いて DK(X) 内の重みを検出し、デリーニュの重みフィルトレーションに関連づける。
• チョウ重みフィルトレーションとデリーニュ型重みを反映するエタールコホロジーへの収束するスペクトル系列を確立する。
• Kモチーフにおける4関手形式 (f_*, f_!, f^*, f^!) を用いて、写像下での重みの振る舞いを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の底層の上での相対Kモチーフに対して、チョウ重構造をどのように定義できるか。
• RQ2 Kモチーブ f_* (1_Y) の重みが、負のK群 K_i(Y) の消滅をどの程度制御するか。
• RQ3 負のK群の支持を余次元の観点から記述できるか。重みの評価とどのように関係するか。
• RQ4 エタールコホロジーとデリーニュ型重みは、Kモチーブ上のチョウ重み構造とどのように関係するか。
• RQ5 特異点の解消から得られる重み評価は、極端な場合に鋭いものか。

主な発見

• K_i(Y) が i < -codim(Y) のとき消える。これはヴァイエルの負のK理論に関する予想のカテゴリフィケーション版の証明を提供する。
• 負のK群 K_i(Y) は余次元 -i に支持される。これは、Y の特異点集合によってその消滅が制御されることを意味する。
• f_* (1_Y) のチョウ重みスペクトル系列の E_2 項が、重みが下から有界なとき消える。これは、対応するフィルトレーション因子が自明であることを示唆する。
• 特性0では、ヒロナカの解消から得られる重み評価は、明示的な例によって鋭いことが示される。
• 有理係数をもつKモチーブのエタールコホロジーは、デリーニュ型重みを実現する。これにより、K理論と古典的なホッジ理論的フィルトレーションが結びつく。
• これらの手法は、構成可能エタール層およびVoevodskyモチーブへと拡張可能であり、スペクトル系列およびフィルトレーション項に関する新たな評価を得る。