[論文レビュー] On representations of rational Cherednik algebras in complex rank

Inna Entova-Aizenbud|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素数次元における有理 Cherednik 代数のカテゴリカル・オーダーの補間としての、族 ${\underline{\mathcal{O}}}_{c,\nu}$ における Verma 対象を定義し、それらを研究する。非自明な射の存在条件、一般の $c,\nu$ における既約商のキャラクタの計算、および $c \in \mathbb{Q}_{<0}$ のときのみ無限長 Verma 対象が存在することを示し、Etingof が予想した退化現象を確認する。

ABSTRACT

We study a family of abelian categories O_{c, t} depending on complex parameters c, t which are interpolations of the O-category for the rational Cherednik algebra H_c(t) of type A, where t is a positive integer. We define the notion of a Verma object in such a category (a natural analogue of the notion of Verma module). We give some necessary conditions and some sufficient conditions for the existence of a non-trivial morphism between two such Verma objects. We also compute the character of the irreducible quotient of a Verma object for sufficiently generic values of parameters c, t, and prove that a Verma object of infinite length exists in O_{c, t} only if c is rational and c &lt; 0. We also show that for every rational c &lt; 0 there exists a rational t &lt; 0 such that there exists a Verma object of infinite length in O_{c, t}. The latter result is an example of a degeneration phenomenon which can occur in rational values of t, as was conjectured by P. Etingof.

研究の動機と目的

• 整数 $n \in \mathbb{Z}_+$ に対して、有理 Cherednik 代数 $H_c(n)$ の古典的カテゴリカル・オーダー $\mathcal{O}$ を補間する族のアーベル圏 ${\underline{\mathcal{O}}}_{c,\nu}$ を定義し、研究すること。
• この補間的設定において、古典的 Verma モジュールの類似物としての Verma 対象 $M_{c,\nu}(\lambda)$ を導入し、それらを分析すること。
• ${\underline{\mathcal{O}}}_{c,\nu}$ 内の Verma 対象間の非自明な射が存在するための条件を同定すること。
• 一般の $c,\nu$ に対して、Verma 対象の既約商のキャラクタを計算すること。
• Verma 対象が無限長であるような状況の存在を調査し、そのパラメータ値を同定すること。これにより、有理数 $\nu$ における退化現象を確認する。

提案手法

• ${\mathrm{ind}}\text{-}{\underline{\mathrm{Rep}}}(S_\nu)$ のフル部分圏として、$x,y$ が $H_c(n)$ 内の $x_i, y_i$ の作用をモデル化する morphisms を備えた、圏 ${\underline{\mathcal{O}}}_{c,\nu}$ を構成する。
• Verma 対象 $M_{c,\nu}(\lambda)$ を、${\mathrm{ind}}\text{-}{\underline{\mathrm{Rep}}}(S_\nu)$ 内の次数付き ind-対象として定義し、最低次数成分が、Young 図形 $\lambda$ に対応する非分解的対象 $X_\lambda$ で与えられるものとする。
• Deligne の圏 ${\underline{\mathrm{Rep}}}(S_\nu)$ 内の Pieri の法則と表現論的道具を用いて、合成因子および Verma 対象間の射を分析する。
• パラメータ $c, \nu$ に対する線形性と代数的条件を適用し、射が存在するための条件を特徴付ける方程式を導出し、代数的loci $\mathcal{L}_{\tau,\mu^j,m^j}$ を定義する。
• $n(\mu)$ と $n(\mu^\vee)$ に対する境界を用いて、導出された条件を満たす Young 図形 $\mu$ は有限個しか存在しないことを示し、一般性のもとで Verma 対象の合成因子が有限であることを証明する。
• 射を記述する方程式の構造を分析し、$c \notin \mathbb{Q}$ であることから、複数のloci が一致しなければならないことを示し、$C, C'$ に対する制約を導き、有限性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数パラメータ $c, \nu$ がどのような値のとき、Verma 対象 $M_{c,\nu}(\lambda)$ と $M_{c,\nu}(\mu)$ 間に非自明な射が存在するか？
• RQ2 一般の $c, \nu$ に対して、Verma 対象 $M_{c,\nu}(\lambda)$ の既約商のキャラクタは何か？
• RQ3 ${\underline{\mathcal{O}}}_{c,\nu}$ 内の Verma 対象が無限長であるのはどのような条件下か？
• RQ4 有理数 $\nu$ の値で観察される退化現象は、特に負の有理数 $c$ と関連して、体系的に説明可能か？
• RQ5 Verma 対象の合成因子の数は有限か？ どのようなパラメータ条件下でそうなるか？

主な発見

• Verma 対象 $M_{c,\nu}(\tau)$ と $M_{c,\nu}(\mu)$ 間に非自明な射が存在するのは、$S^{m^j}\mathfrak{h}_0 \otimes \tau$ の構造と Pieri の法則に基づいて導出された代数的方程式系を満たす $c, \nu$ のときに限る。
• 十分に一般の $c, \nu$ に対して、Verma 対象 $M_{c,\nu}(\lambda)$ の既約商のキャラクタは、${\underline{\mathrm{Rep}}}(S_\nu)$ 内の既約対象の直和として計算され、関連する Young 図形の構造によって重複度が定まる。
• ${\underline{\mathcal{O}}}_{c,\nu}$ 内に無限長 Verma 対象が存在するのは、$c \in \mathbb{Q}_{<0}$ のときのみであり、パrameter $c$ に対して鋭い条件が得られた。
• 任意の $c \in \mathbb{Q}_{<0}$ に対して、${\underline{\mathcal{O}}}_{c,\nu}$ 内に無限長 Verma 対象が存在するような $\nu \in \mathbb{Q}_{<0}$ が存在する。これは、有理数 $\nu$ における退化現象を確認するものである。
• $c \notin \mathbb{Q}$ のとき、導出された制約のもとで $|\mu|$ と $\ell(\mu)$ が有界であることから、任意の Verma 対象 $M_{c,\nu}(\tau)$ の合成因子の数は有限である。
• 解析により、射が存在する Young 図形 $\mu$ の集合は、一般性のもとで有限であることが示された。これは、度数 $m^j$、サイズ $|\mu|$、および $\ell(\mu)$ に対して二次的に増加する $n(\mu^\vee)$ 項との間の相互作用によるものである。