[論文レビュー] On Self-Dual Quantum Codes, Graphs, and Boolean Functions

Lars Eirik Danielsen|ArXiv.org|Mar 31, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 45被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、ゼロ次元の量子符号がGF(4)上の自己双対加法的符号に相当することを示し、それらをグラフとして表現可能であることを明らかにすることで、自己双対量子符号、グラフ、およびブール関数の間の新しい関係を確立する。周期的でない伝搬基準（APC）を導入し、その符号の最小距離が関連するブール関数のAPC距離に等しいことを証明する。これにより、局所補完におけるグラフの軌道を用いて長さ12までの同型でない符号の分類が可能になる。

ABSTRACT

A short introduction to quantum error correction is given, and it is shown that zero-dimensional quantum codes can be represented as self-dual additive codes over GF(4) and also as graphs. We show that graphs representing several such codes with high minimum distance can be described as nested regular graphs having minimum regular vertex degree and containing long cycles. Two graphs correspond to equivalent quantum codes if they are related by a sequence of local complementations. We use this operation to generate orbits of graphs, and thus classify all inequivalent self-dual additive codes over GF(4) of length up to 12, where previously only all codes of length up to 9 were known. We show that these codes can be interpreted as quadratic Boolean functions, and we define non-quadratic quantum codes, corresponding to Boolean functions of higher degree. We look at various cryptographic properties of Boolean functions, in particular the propagation criteria. The new aperiodic propagation criterion (APC) and the APC distance are then defined. We show that the distance of a zero-dimensional quantum code is equal to the APC distance of the corresponding Boolean function. Orbits of Boolean functions with respect to the {I,H,N}^n transform set are generated. We also study the peak-to-average power ratio with respect to the {I,H,N}^n transform set (PAR_IHN), and prove that PAR_IHN of a quadratic Boolean function is related to the size of the maximum independent set over the corresponding orbit of graphs. A construction technique for non-quadratic Boolean functions with low PAR_IHN is proposed. It is finally shown that both PAR_IHN and APC distance can be interpreted as partial entanglement measures.

研究の動機と目的

• 自己双対量子符号とブール関数（特に二次的関数）との間の対応関係を確立すること。
• 周期的でない伝搬基準（APC）を定義・分析し、それが量子符号距離とどのように関係するかを明らかにすること。
• 局所補完におけるグラフ軌道を用いて、GF(4)上の同型でない自己双対加法的符号を長さ12まで分類すること。
• 特にピーク対平均電力比（PAR IHN）に関連して、ブール関数の暗号的性質を研究すること。
• APC距離とPAR IHNを、量子情報における部分的エンタングルメントの尺度として解釈すること。

提案手法

• GF(4)上の加法的符号構造を介して自己双対量子符号をグラフとして表現する。
• 局所補完操作を用いてグラフの軌道を生成し、同値な量子符号を特定する。
• ブール関数に対する周期的でない伝搬基準（APC）を定義し、符号距離と関連付ける。
• {I, H, N}^n 変換集合に基づくPAR IHN測度を導入し、グラフ軌道における最大独立集合のサイズと関連付ける。
• スペクトル的性質に基づいて、低PAR IHNを持つ非二次的ブール関数の構成法を提案する。
• APC距離とPAR IHNの両方が、量子系における部分的エンタングルメントの尺度として解釈可能であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己双対量子符号は、どのようにグラフとブール関数を用いて同値に表現できるか？
• RQ2 ゼロ次元の量子符号の最小距離と、対応するブール関数の周期的でない伝搬基準（APC）との関係は何か？
• RQ3 局所補完におけるグラフ軌道を用いて、長さ12までの同型でない自己双対加法的符号をどのように分類できるか？
• RQ4 ブール関数のPAR IHNと、その対応するグラフ軌道における最大独立集合のサイズとの関係は何か？
• RQ5 APC距離とPAR IHNは、どのようにして量子状態における部分的エンタングルメントの尺度として解釈できるか？

主な発見

• ゼロ次元の量子符号の最小距離は、対応するブール関数のAPC距離に等しい。
• 長さ12までの同型でない自己双対加法的符号は、局所補完におけるグラフ軌道を用いて分類された。これは、従来の長さ9までの制限を拡張する結果である。
• 二次的ブール関数のPAR IHNは、対応するグラフ軌道における最大独立集合のサイズと直接関係している。
• スペクトル的性質に基づいて、低PAR IHNを持つ非二次的ブール関数の構成法が提案された。
• APC距離とPAR IHNの両方が、量子情報理論における部分的エンタングルメントの尺度として解釈可能である。
• 本研究により、高い最小頂点次数と長いサイクルを持つネストされた正則グラフは、高い最小距離を持つ自己双対符号に対応することが明らかになった。