[論文レビュー] ON SEMI-INVARIANTS OF FILTERED REPRESENTATIONS OF QUIVERS AND THE COTANGENT BUNDLE OF THE ENHANCED GROTHENDIECK-SPRINGER RESOLUTION

Mee Seong Im|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限ADEおよびアフィンeA-Dynkinクーヴィーに対して不変多項式を扱う一般化として、フィルター付きクーヴィー表現を導入する。幾何的不変理論とモーメント写像の技法を用いて、フィルター付きクーヴィー多様体の半不変量と、強化されたグロタンディーク・スプリンガー解体の余接 bundle 間の接続を確立する。

ABSTRACT

We introduce the notion of filtered representations of quivers, which is related to usual quiver representations, but is a systematic generalization of conjugacy classes of $n imes n$ matrices to (block) upper triangular matrices up to conjugation by invertible (block) upper triangular matrices. With this notion in mind, we describe the ring of invariant polynomials for interesting families of quivers, namely, finite $ADE$-Dynkin quivers and affine type $\widetilde{A}$-Dynkin quivers. We then study their relation to an important and fundamental object in representation theory called the Grothendieck-Springer resolution, and we conclude by stating several conjectures, suggesting further research.

研究の動機と目的

• フィルター付きクーヴィー表現を導入することで、ブロック上三角行列のブロック上三角共役に関して、共轭類の概念を一般化すること。
• フィルター付きクーヴィー多様体を用いて、有限ADE-DynkinおよびアフィンeA-Dynkinクーヴィーの不変多項式の環を記述すること。
• フィルター付きクーヴィー不変量と、特にその余接 bundle を含む強化されたグロタンディーク・スプリンガー解体との幾何的接続を確立すること。
• 幾何的不変理論とハミルトニアン還元を用いて、モーメント写像の特異点集合およびモジュライ空間の構造を分析すること。
• フィルター付きクーヴィー多様体の半不変量環の構造と、モジュライ空間の射影性に関する予想を提示すること。

提案手法

• フィルター付きクーヴィー多様体をクーヴィー・グラスマンニアンおよびクーヴィー・フラッグ多様体の部分多様体として導入し、固定された部分表現のフラッグを持つ表現をパラメトライズする。
• Derksen-Weyman、Domokos-Zubkov、Schofield-van den Bergh の技法を適用して、フィルター付きクーヴィー表現の半不変量を計算する。
• ハミルトニアン還元とモーメント写像の技法を用いて、ボレル写像およびPβ写像を介して、強化されたグロタンディーク・スプリンガー解体の余接 bundle を研究する。
• 幾何的不変理論（GIT）を用いて、χ-半安定なフィルター付きクーヴィー表現のモジュライ空間を構成し、ボレルおよびパラボリック部分群の特徴を用いる。
• 定義関係の偏微分を計算することで、モーメント写像の特異点集合を分析し、ヤコビアンが消える条件を同定する。
• 特性 χ と χ′ を用いた壁越え写像を構成し、それらをヒルベルト＝チャウ写像およびモジュライ空間の射影性に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限ADE-DynkinおよびアフィンeA-Dynkinクーヴィーのフィルター付きクーヴィー表現の半不変量環の構造は何か？
• RQ2 フィルター付きクーヴィー多様体は、グロタンディーク・スプリンガー解体およびその強化された余接 bundle とどのように関係するか？
• RQ3 モーメント写像のゼロファイバーのGIT商が射影的多様体となる条件は何か？
• RQ4 次元ベクトルが非可約であるとき、χ-安定なフィルター付きクーヴィー表現のモジュライ空間がファインモジュライ空間であるのはいつか？
• RQ5 ボレルおよびパラボリック作用の下で、フィルター付きクーヴィー多様体のモーメント写像の特異点集合の正確な記述は何か？

主な発見

• G-モーメント写像の特異点集合は、r11 = r22 かつ s11 = s22 のときであり、C²平面における一致する点に対応する。
• B-モーメント写像の特異点集合は、定義関係 ψ = −2T² + 2R1S1T + 2R2S2 − S2R²₁ − R2S²₁ のヤコビアンが消えることによって定義される。
• ゼロファイバー µ⁻¹_B(0) は少なくとも 2n 個の既約成分を持つ。定義イデアルが正則列であれば、それらは基本的ベクトルまたはコベクトルに対応し、正確に 2n 個の成分を持つ。
• 写像 µ⁻¹_B(0)//χB → µ⁻¹_B(0)//B はヒルベルト＝チャウ写像 (C²)^[n] → SⁿC² に関連し、ψχ,χ′ はチャネル間の壁越えを表す。
• Pβ作用の下で、ゼロファイバーが完全交差であり、特性 χ が一般的であれば、GIT商 µ⁻¹_Pβ(0)//χPβ は全射的かつ射影的である。
• 次元ベクトル β が非可約であるとき、安定領域 MF•_χ(Q,β)^s は滑らかであり、一般に特徴の密度から、全モジュライ空間 MF•_χ(Q,β) に等しいと予想される。