[論文レビュー] On some finiteness questions for algebraic stacks

Vladimir Drinfeld, Dennis Gaitsgory|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、弱いQCA（擬コンパactかつアフィン）条件の下で、代数的スタック上のDモジュールおよび準正則層の導来圏のコンパクト生成性と連続性の性質を確立する。ス chemes における基礎的結果を一般の代数的スタックおよびLM代数的スタックへと拡張し、QCAスタック上のDモジュールがコンパクト生成であり、グローバルセクション関手が連続であることを証明する。主な応用はヴェルディエ双対性および再正規化されたde Rhamコホモロジーに向けられる。

ABSTRACT

We prove that under a certain mild hypothesis, the DG category of D-modules on a quasi-compact algebraic stack is compactly generated. We also show that under the same hypothesis, the functor of global sections on the DG category of quasi-coherent sheaves is continuous.

研究の動機と目的

• 弱いQCA条件の下で、擬コンパクト代数的スタック上のDモジュールのDG圏のコンパクト生成性を確立すること。
• このようなスタックに対して、準正則層上のグローバルセクション関手が連続であることを示すこと。
• これらの結果を、代数的空間や表現可能射を含むより広いクラスのLM代数的スタックへと拡張すること。
• ind-coh層の理論を構築し、スタック上のDモジュールおよびコホモロジカル双対性と関連づけること。
• 安全な準同型の特徴づけを行い、再正規化されたde Rhamコホモロジーに対する基本変換および射影公式の結果を証明すること。

提案手法

• プレスタック間のQCA（擬コンパクトかつアフィン）準同型の概念を導入し、古典的な擬コンパクトかつ擬分離的設定を一般化する。
• デビッサージュ技法と還元を用いて、連続性およびコンパクト生成性の結果を証明する。
• 誘導関手および滑らかな準同型に沿った基本変換を用いて、スタック上のDモジュールとスキーム上のDモジュールを関連付ける。
• ind-coh層の理論とそのコンパクト生成性を用いて、直接像関手の連続性を確立する。
• マッピングテレスコープの議論と重要な補題を用いて、準同型に対する安全な性質および双対性の性質を証明する。
• DGスキームの理論とその導来圏を用いて、スタック上でのde Rhamコホモロジーおよびヴェルディエ双対性を定義し、研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬コンパクト代数的スタック上のDモジュールのDG圏が、どのような条件下でコンパクト生成になるか？
• RQ2 代数的スタックに対して、準正則層上のグローバルセクション関手がいつ連続になるか？
• RQ3 ind-coh層およびそのコンパクト対象の性質は、スタック上のDモジュールの性質とどのように関係するか？
• RQ4 どのような準同型に対して、de Rham直接像関手が連続になるか？
• RQ5 Dモジュールおよびコホモロジーの理論は、LM代数的スタックへどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• QCA代数的スタックに対して、DモジュールのDG圏はコンパクト生成であり、コンパクト対象は「安全」な、係数が有限型のDモジュールと一致する。
• QCAスタック上では、準正則層上のグローバルセクション関手は連続であり、コホモロジーのアーマチュアがスタックに依存する整数で有界である。
• QCA条件を満たすLM代数的スタックに対して、ind-coh層の圏はコンパクト生成であり、コンパクト対象は係数が有限型の層と同定される。
• 擬コンパクト準同型に沿るDモジュールの直接像関手が連続であるための必要十分条件は、その準同型が安全であることである。
• QCAスタック上でのde Rhamコホモロジー関手は連続であり、安全な準同型に沿った再正規化された直接像関手に対して基本変換が成り立つ。
• 理論はLM代数的スタックへ拡張可能である：擬コンパクトな表現可能準同型はQCAかつ安全であり、主な定理はこのより広い文脈でも成り立つ。