[論文レビュー] Singular support of coherent sheaves, and the geometric Langlands conjecture

D. Arinkin, Dennis Gaitsgory|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、準滑らかさの導来的スキームおよびアーティンスタック上の連接層の特異的補助集合（singular support）の概念を導入し、コhomological support理論を一般化する。この枠組みを用いて、幾何的ラングランズ予想の精錬されたカテゴリカル版を定式化し、幾何的サタケ同値とアイゼンスタイン級数関手と両方の整合性を示す。これにより、元の予想における主要な失敗要因が解消される。

ABSTRACT

We develop the notion of singular support of a coherent sheaf on a quasi-smooth DG scheme or stack and use it to formulate the Geometric Langlands Conjecture.

研究の動機と目的

• 準滑らかさの導来的スキームおよびアーティンスタック上の連接層の特異的補助集合を定義・研究し、コhomological support理論を拡張すること。
• 直接および逆像関手に関して、特に有限および固有写像において良好に振る舞う特異的補助集合の枠組みを構築すること。
• 特異的補助集合を用いてカテゴリカルな幾何的ラングランズ予想を再定式化し、既知の幾何的および表現論的同値と整合することを保証すること。
• 予想が幾何的サタケ同値とアイゼンスタイン級数関手と両方で整合することを確立し、元の定式化における主要な障害を解消すること。
• コーサル・ドレティーに基づく特異的補助集合の記述を提供し、グローバルな完全交差の場合に明示的な計算と構造的洞察を可能にすること。

提案手法

• 導来的意味での局所的完全交差として、DGスキームおよびアーティンスタックの準滑らかさを定義し、適切に振る舞う余接複体を保証する。
• 特異的余微分と特異的スキームを導入し、連接層の特異的補助集合を特徴付ける。
• インダクティブ・コherent層の理論とその準連接層による商を用い、局所化とt構造を介して特異的補助集合を定義する。
• 相対的コーサル・ドレティーとポジチェルスキーの非線形的コーサル変換を適用し、特異的補助集合を行列因子化とコ導来カテゴリと関連付ける。
• ヘッケカテゴリおよび球的ヘッケカテゴリを用い、特異的補助集合を幾何的サタケ同値の作用と関連付ける。
• 有限、準滑らか、固有写像に対して、保守性および関手的性質の結果を確立し、主要な幾何的作用の下で補助集合構造が保存されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的補助集合の概念をスキームから、準滑らかさの導来的スキームおよびアーティンスタックへ一般化する方法は何か？
• RQ2 特に有限および固有写像において、特異的補助集合は直接および逆像関手に対してどのように振る舞うか？
• RQ3 特異的補助集合を用いて幾何的ラングランズ予想を再定式化し、幾何的サタケ同値と整合させることは可能か？
• RQ4 なぜ元の「素朴な」幾何的ラングランズ予想はアイゼンスタイン級数関手の下で失敗するのか？そして、これはどのように是正できるか？
• RQ5 特異的補助集合は、コーサル・ドレティーおよび曲がったDG代数のコ導来カテゴリを用いてどの程度記述可能か？

主な発見

• 本稿は、特異的スキームと特異的余微分を用いて、準滑らかさの導来的スタック上の連接層の特異的補助集合を定義し、ベンソン＝イエンガル＝クロウスのコhomological support理論を一般化する。
• 有限、準滑らか、固有写像に対して、特異的補助集合が直接および逆像関手で保存され、特に重要な場合に保守性の結果が得られることを確立する。
• 特異的補助集合を用いて精錬されたカテゴリカルな幾何的ラングランズ予想を定式化し、球的ヘッケカテゴリを介して幾何的サタケ同値と整合することが証明される。
• 予想はアイゼンスタイン級数関手との整合性という、決定的な整合性テストに合格し、元の素朴な定式化で失敗していた障害を解消する。
• 曲がったDG代数のコ導来カテゴリ間のコーサル・ドレティー同値により、特異的補助集合が行列因子化の観点から記述可能であり、ポジチェルスキーおよびミルコビッチ＝リチェの研究と関連づけられる。
• オブジェクト $\operatorname{IndCoh}(Z)$ の特異的補助集合は、その $\operatorname{IndCoh}(Z)/\operatorname{QCoh}(Z)$ における像から再構成可能であり、双対性の議論により完全な補助集合が回復可能である。