[論文レビュー] On strongly norm attaining Lipschitz operators

B. Cascales, Rafa Chiclana+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2018

Advanced Banach Space Theory参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、距離空間 M とバナッハ空間 Y においてリプシッツノルムを強く達成する写像の集合 SNA(M,Y) を調査する。M が長さ空間であるか、正の測度をもつ R の閉部分集合である場合には、SNA(M,Y) はノルム稠密でないことが示され、一方でリプシッツ自由空間 F(M) に特定の線形的性質が成り立つ場合にはノルム稠密性が保証される。また、SNA(M,R) の弱順序列稠密性と、離散的 M 条件下での双対ノルムのオクタヘドラル性も証明されている。

ABSTRACT

We study the set $\operatorname{SNA}(M,Y)$ of those Lipschitz maps from a (complete pointed) metric space $M$ to a Banach space $Y$ which (strongly) attain their Lipschitz norm (i.e. the supremum defining the Lipschitz norm is a maximum). Extending previous results, we prove that this set is not norm dense when $M$ is a length space (or local) or when $M$ is a closed subset of $\mathbb{R}$ with positive Lebesgue measure, providing new examples which have very different topological properties than the previously known ones. On the other hand, we study the linear properties which are sufficient to get Lindenstrauss property A for the Lipschitz-free space $\mathcal{F}(M)$ over $M$, and show that all of them actually provide the norm density of $\operatorname{SNA}(M,Y)$ in the space of all Lipschitz maps from $M$ to any Banach space $Y$. Next, we prove that $\operatorname{SNA}(M,\mathbb{R})$ is weakly sequentially dense in the space of all Lipschitz functions for all metric spaces $M$. Finally, we show that the norm of the bidual space of $\mathcal{F}(M)$ is octahedral provided the metric space $M$ is discrete but not uniformly discrete or $M'$ is infinite.

研究の動機と目的

• SNA(M,Y) と呼ばれる、リプシッツノルムを強く達成する写像の集合の位相的性質を特定すること。
• M から Y へのすべてのリプシッツ写像の空間において、SNA(M,Y) が稠密となる条件を同定すること。
• リプシッツ自由空間 F(M) の線形的性質と SNA(M,Y) の稠密性との関係を調査すること。
• 任意のメトリック空間 M に対して、実数値リプシッツ関数空間における SNA(M,R) の弱順序列稠密性を確立すること。
• 特定のメトリック空間条件下での F(M) の双対空間におけるノルムのオクタヘドラル性を分析すること。

提案手法

• メトリック空間 M 上のリプシッツ自由空間 F(M) の構造を分析することで、SNA(M,Y) のノルム稠密性に関する先行研究を拡張する。
• 関数解析学およびメトリック幾何学の技術を用いて、リプシッツノルムの振る舞いとその達成性を研究する。
• 長さ空間や局所的構造の概念を用い、SNA(M,Y) がノルム稠密でない反例を構成する。
• 一様離散性および導出集合 M' の概念を適用し、F(M) の双対ノルムがオクタヘドラルである条件を特徴付ける。
• 実数値リプシッツ関数空間における弱順序列稠密性の議論を用いて、SNA(M,R) が弱い意味で順序列稠密であることを示す。
• M の幾何的性質と F(M) の線形的性質の相互作用を分析し、SNA(M,Y) のノルム稠密性の十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メトリック空間 M に対して、SNA(M,Y) が M から Y へのすべてのリプシッツ写像の空間に稠密となる条件は何か？
• RQ2 リプシッツ自由空間 F(M) の線形的性質によって、SNA(M,Y) のノルム稠密性を保証できるか？
• RQ3 任意のメトリック空間 M に対して、SNA(M,R) はすべての実数値リプシッツ関数の空間において弱順序列稠密か？
• RQ4 特に離散的メトリック空間に対して、F(M) の双対空間におけるノルムがオクタヘドラルとなる条件は何か？
• RQ5 M が R の正の測度をもつ閉部分集合である場合でも、SNA(M,Y) のノルム稠密性が失敗する要因となる、M の位相的および幾何的性質は何か？

主な発見

• M が長さ空間であるか、正のリーマン測度をもつ R の閉部分集合である場合には、SNA(M,Y) はノルム稠密でない。これは、特徴的な位相的性質をもつ新たな反例を提供する。
• リプシッツ自由空間 F(M) に特定の線形的性質が成り立つ場合、SNA(M,Y) のノルム稠密性が成立する。これは、先行研究を一般化する結果である。
• 任意のメトリック空間 M に対して、すべての実数値リプシッツ関数の空間における SNA(M,R) は弱順序列稠密である。
• M が離散的だが一様離散的でない、または導出集合 M' が無限集合である場合には、F(M) の双対空間におけるノルムはオクタヘドラルである。
• 本稿では、M の幾何的構造と双対ノルムのオクタヘドラル性との間の関係を確立し、バナッハ空間論における既知の結果を拡張している。
• 結果から、SNA(M,Y) の位相的挙動が、M のメトリック的および位相的性質（たとえば長さ空間であること、または R における正の測度をもつこと）に強く依存することが明らかになった。