[論文レビュー] On Tamed Euler Approximations of SDEs Driven by Lévy Noise with Applications to Delay Equations

Konstantinos Dareiotis, Chaman Kumar+1 more|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Mar 3, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、超線形に成長するドリフト係数をもつLévyノイズで駆動される確率微分方程式（SDEs）に対して、飛躍を扱えるようにしたtamed Eulerスキームを導入する。局所リプシッツ条件の下で強い$\mathcal{L}^q$収束を確立し、グローバルおよび多項式リプシッツ仮定の下で収束速度の結果を提示する。さらに、非マルコフ的で遅延のあるダイナミクスをもつ確率遅延微分方程式（SDDEs）の枠組みへと拡張する。

ABSTRACT

We extend the taming techniques for explicit Euler approximations of stochastic differential equations (SDEs) driven by Lévy noise with super-linearly growing drift coefficients. Strong convergence results are presented for the case of locally Lipschitz coefficients. Moreover, rate of convergence results are obtained in agreement with classical literature when the local Lipschitz continuity assumptions are replaced by global and, in addition, the drift coefficients satisfy polynomial Lipschitz continuity. Finally, we further extend these techniques to the case of delay equations.

研究の動機と目的

• ドリフト係数が超線形に成長するSDEsに対して、標準的なEulerスキームが収束しない状況における強い収束の欠如に対処する。
• 従来、拡散SDEsに用いられていたtaming技術を、Lévyノイズで駆動されるSDEsへと拡張し、このような方程式の数値的近似を可能にする。
• 局所リプシッツ係数をもつSDEsに対して、$\mathcal{L}^q$ノルムにおける強い収束を確立し、グローバルおよび多項式リプシッツ条件の下で収束速度を導出する。
• 非遅延および遅延変数の両方で超線形ドリフトをもつLévyノイズで駆動される確率遅延微分方程式（SDDEs）に対して、tamed Eulerフレームワークを拡張する。
• 非遅延変数に対してのみ緩和された局所リプシッツ条件を仮定した場合に、LévyノイズをもつSDDEsの解の存在と一意性を示す。これは、既存の文献を改善する。

提案手法

• ドリフト係数をtaming関数で変更することで、爆発的成長を防ぎ、数値スキームの安定性を保証するtamed Eulerスキームを開発する。
• [21]のtaming技術をLévyノイズで駆動されるSDEsに適用し、ドリフト係数のノルムの逆数に基づく切断機構を用いる。
• 時間区間内で解過程の区分定数近似を用い、前ステップの状態に依存するtamedドリフト項を導入する。
• 時間区間ごとの再帰的議論を用いて収束を証明し、モーメントバウンドとGronwall型不等式に依存する。
• [7]の手法を用いて遅延方程式をランダム係数SDEsに帰着させ、tamedスキームをSDDEsへと拡張可能にする。
• Hölderの不等式、モーメント推定、帰納的議論を用いて、真の解とtamedスキームとの間の誤差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なEulerスキームが収束しない超線形に成長するドリフト係数をもつLévyノイズで駆動されるSDEsに対して、tamed Eulerスキームを拡張できるか？
• RQ2 SDEsにおけるLévyノイズのtamed Eulerスキームの強い$\mathcal{L}^q$収束を保証するドリフト、拡散、ジャンプ係数に関する条件は何か？
• RQ3 グローバルおよび多項式リプシッツ条件が係数に課された場合、tamed Eulerスキームの収束速度は何か？
• RQ4 tamingフレームワークを、非遅延および遅延成分の両方で超線形ドリフトをもつジャンプを伴う確率遅延微分方程式（SDDEs）に適応できるか？
• RQ5 具体的には、非遅延変数でのみ局所リプシッツ連続性を仮定するという緩和された正則性条件下で、LévyノイズをもつSDDEsの解の存在と一意性を確立できる条件は何か？

主な発見

• tamed Eulerスキームは、ドリフト、拡散、ジャンプ係数が片側局所リプシッツおよび局所リプシッツ条件を満たすSDEsに対して、強い$\mathcal{L}^q$収束を達成する。
• グローバルリプシッツおよび多項式リプシッツドリフト係数の下では、スキームは$\mathcal{L}^q$ノルムにおいて$O(n^{-1/2})$の収束速度を達成する。これは古典的結果と整合的である。
• 本手法は、非遅延および遅延変数の両方で超線形ドリフトをもつSDDEsへと拡張可能であり、片側リプシッツおよび多項式リプシッツ条件を満たす係数を仮定する。
• SDDEsの収束速度は、ドリフト、拡散、ジャンプ係数にグローバルおよび多項式リプシッツ仮定を課した下で$O(n^{-1/2})$である。
• 本稿では、非遅延変数でのみ局所リプシッツ連続性を仮定した緩和された条件下で、LévyノイズをもつSDDEsの解の存在と一意性を証明する。
• 数値実験により理論的収束速度が確認された：SDE (78)では、$\mathcal{L}^2$誤差がステップサイズ$h = 2^{-k}$に従っておおよそ$O(n^{-1/2})$の割合で減少し、SDDE (79)に対しても同様の挙動が観察された。