[論文レビュー] On tensor products of positive representations of split real quantum Borel subalgebra $U_{q ilde{q}}(b_R)$

Ivan Chi-Ho Ip|arXiv (Cornell University)|May 19, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、split real量子Boreル代数 $υ_{q\tilde{q}}(\mathfrak{b}_{\mathbb{R}})$ の正表現がパラメータ $\lambda$ に依存しないことを確立し、乗法的ユニタリを用いて、そのテンソル積が乗法的ホップ代数のGNS表現を通じて分解されることを証明する。主な結果は、テンソル積が $L^2(\mathbb{R}^{n(n+1)/2}) \otimes \mathcal{P}$ にユニタリ同値であることであり、量子ダイログォリズム関数から構成された明示的なインターリーブ関数が得られる。

ABSTRACT

We studied the positive representations $P_λ$ of split real quantum groups $U_{q ilde{q}}(g_R)$ restricted to the Borel subalgebra $U_{q ilde{q}}(b_R)$. We proved that the restriction is independent of the parameter $λ$. Furthermore, we prove that it can be constructed from the GNS-representation of the multiplier Hopf algebra $U_{q ilde{q}}^{C^*}(b_R)$ constructed earlier, which enables us to decompose their tensor product using the theory of the "multiplicative unitary". This will be an essential ingredient in the construction of quantum higher Teichmüller theory from the perspective of representation theory, generalizing earlier work by Frenkel-Kim.

研究の動機と目的

• split real量子群のBoreル部分代数に制限された正表現のテンソル積の構造を理解すること。
• 高ランクのsplit real量子群におけるテンソル積分解の未解決問題を解消すること。
• $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ における量子ダイログォリズムに基づく融合規則を $\mathfrak{sl}_3$ のような高ランクのリー代数へ一般化すること。
• Boreル部分代数の量子群に対して、乗法的ユニタリと $g_b$-関数を用いて明示的なインターリーブ関数を構成すること。
• モジュラー二重と正表現を通じて、量子ハイパーサイクロメトリック理論の表現論的基盤を提供すること。

提案手法

• $\mathcal{U}_{q\tilde{q}}(\mathfrak{g}_{\mathbb{R}})$ の正表現 $\mathcal{P}_\lambda$ をBoreル部分代数 $\mathcal{U}_{q\tilde{q}}(\mathfrak{b}_{\mathbb{R}})$ に制限し、$\lambda$ に依存しないことを証明する。
• $\mathcal{U}_{q\tilde{q}}^{C^*}(\mathfrak{b}_{\mathbb{R}})$ の乗法的ホップ代数のGNS表現を用いて、ヒルベルト空間上に表現を実現する。
• 量子ダイログォリズム作用素 $g_b$ の積を用いて明示的なユニタリ変換 $\Phi_2$ を構成し、テンソル積を標準形へ関連付ける。
• 乗法的ユニタリ形式を用いて、テンソル積表現を $L^2(\mathbb{R}^{n(n+1)/2}) \otimes \mathcal{P}$ への直積分に分解する。
• 変換後の作用が $1 \otimes \mathbf{e}_i$ および $K_i \otimes K_i$ と一致することを検証し、分解が正当化されることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正表現 $\mathcal{P}_\lambda$ をBoreル部分代数 $\mathcal{U}_{q\tilde{q}}(\mathfrak{b}_{\mathbb{R}})$ に制限したとき、パラメータ $\lambda$ に依存するか。
• RQ2 二つの正表現 $\mathcal{U}_{q\tilde{q}}(\mathfrak{b}_{\mathbb{R}})$ のテンソル積は、GNS表現と乗法的ユニタリを用いて分解可能か。
• RQ3 $\mathfrak{sl}_3$ の場合に、テンソル積分解を実現する明示的なインターリーブ関数の形は何か。
• RQ4 $A_n$ を超える高ランクのリー代数へ、この分解はどのように一般化されるか。
• RQ5 高ランクTeichmüller理論における量子ミューテーション作用素は、このテンソル積の多重度モジュールから構成可能か。

主な発見

• $\mathcal{P}_\lambda$ をBoreル部分代数 $\mathcal{U}_{q\tilde{q}}(\mathfrak{b}_{\mathbb{R}})$ に制限したものは $\lambda$ に依存せず、一様な記述が可能である。
• $A_n$ 型において、テンソル積 $\mathcal{P}_{\lambda_1} \otimes \mathcal{P}_{\lambda_2}$ は $L^2(\mathbb{R}^{n(n+1)/2}) \otimes \mathcal{P}$ にユニタリ同値であり、$g_b$-関数を用いて明示的なインターリーブ関数が構成される。
• $\mathfrak{sl}_3$ の場合、変換 $\Phi_2$ は明示的に同値 $\Delta(\mathbf{e}_i) \simeq 1 \otimes \mathbf{e}_i$ および $\Delta(K_i) \simeq K_i \otimes K_i$ を実現する。
• インターリーブ関数は、正で $q$-可換な引数を持つ量子ダイログォリズム作用素 $g_b$ の積として表現され、定義が保証される。
• この構成は、$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ の場合に、プランシュレル測度が量子ダイログォリズムで与えられることを一般化する。
• この手続きはヘイゼンベルグ双対体と関連している可能性があり、量子ハイパーサイクロメトリック理論の表現論的枠組みを提供する。