[論文レビュー] On the 2-part of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for quadratic twists of elliptic curves

Li Cai, Chao Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、解析的ランク 0 の有理楕円曲線の無限族の二次-twistが存在することを確立し、これらの-twistに対してBirchとSwinnerton-Dyer予想の2部を証明する。2-adic付値の代数的L値をモジュラー記号と新規の整数性補題を用いて分析することで、著者らはこれらの-twistに対してTate–Shafarevich群の2-primary成分が自明であることを示し、これによりXin Wanが後に非CM楕円曲線に対して無限に多くの場合に全Birch–Swinnerton-Dyer予想を証明することができた。

ABSTRACT

In the present paper, we prove, for a large class of elliptic curves defined over $\mathbb{Q}$, the existence of an explicit infinite family of quadratic twists with analytic rank $0$. In addition, we establish the $2$-part of the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer for many of these infinite families of quadratic twists. Recently, Xin Wan has used our results to prove for the first time the full Birch--Swinnerton-Dyer conjecture for some explicit infinite families of elliptic curves defined over $\mathbb{Q}$ without complex multiplication.

研究の動機と目的

• Q 上の楕円曲線の二次-twistで解析的ランク 0 であるような明示的な無限族を構成すること。
• 特にTate–Shafarevich群の2-primary成分が自明である場合に、これらのtwistに対してBirchとSwinnerton-Dyer予想の2部を確立すること。
• p=2 におけるIwasawa理論の技術的障害を、深いp-adic技法の代わりに古典的モジュラー記号法を用いることで克服すること。
• 既存の素数twistに関する結果を合成的判別式へ一般化し、従来の帰納法に基づく議論の範囲を超えて拡張すること。
• 非CM楕円曲線に対して無限に多くの場合に全Birch–Swinnerton-Dyer予想を証明する基盤を提供すること、後にXin Wanによって達成された。

提案手法

• モジュラー記号理論を用いて、Q 上の最適楕円曲線 E の二次-twist E^{(M)} に対して、代数的L値 L^{(alg)}(E^{(M)},1) の2-adic付値を計算する。
• q ≠ 2 で q ≡ 1 mod 4、q ∤ C、および ord_2(N_q) = 1 を満たす素数 q の集合 fS を定義し、2-部分点の分解挙動を適切に保証する。
• 合成的判別式 M = q_1 × ⋯ × q_r に対して、有理2-torsionが存在する場合の古典的帰納法の失敗を克服するため、新しい整数性補題を適用する。
• E(Q)[2] → Z/2Z および ord_2(L^{(alg)}(E,1)) = -1 であることに着目し、fS に属する r 個の素数の平方自由積 M に対して、ord_2(L^{(alg)}(E^{(M)},1)) = r - 1 を導出する。
• regulator の2-adic付値が 0 で、Tamagawa積の2-adic付値が r であることを示すことで、BSDの2部の公式が成立することを検証する。これにより、代数的L値の2-adic付値が期待される2部と一致する。
• r_an = 0 であることから、Gross–ZagierとKolyvaginの定理により、E^{(M)}(Q) および Sha(E^{(M)}) が両方とも有限であることを結論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理楕円曲線の二次-twistで解析的ランク 0 であるような無限族を構成することは可能か？
• RQ2 このようなtwistに対して、BSD予想の2部が成り立つのか、特に代数的L値の2-adic付値に関してどうか？
• RQ3 楕円曲線が有理2-torsionを持つ場合、素数twistに関する帰納法が合成的判別式へ拡張可能か？
• RQ4 古典的モジュラー記号法を用いることで、標準的手法が失敗する p=2 におけるIwasawa理論の制限を回避できるか？
• RQ5 これらの結果を深いIwasawa理論的道具と組み合わせることで、非CM楕円曲線に対して無限に多くの場合に全BSD予想を証明できるか？

主な発見

• E(Q)[2] → Z/2Z、ord_2(L^{(alg)}(E,1)) = -1、および奇数のManin定数を満たすQ 上の最適楕円曲線 E の広いクラスに対して、fS に属する r 個の異なる素数の積 M による二次-twist E^{(M)} の無限族を構成する。
• このようなtwistに対して、ord_2(L^{(alg)}(E^{(M)},1)) = r - 1 であり、L(E^{(M)},1) ≠ 0 であるため、解析的ランクは 0 である。
• その結果、Gross–ZagierとKolyvaginの定理により、E^{(M)}(Q) および Sha(E^{(M)}) は両方とも有限である。
• これらのtwistに対して、Birch–Swinnerton-Dyer公式の2部が成立する。代数的L値の2-adic付値が、regulator、Tamagawa因子、Sha の2-adic付値の和と一致するからである。
• 具体的な例として、A = 34A1、56B1、99C1、および 46A1 に対して、Q(A[2]) および Q(A'[2]) で非分岐な q ≡ 1 mod 4 である素数 q の集合 fS が無限に存在し、M がこのような素数 r 個の積であるとき、ord_2(L^{(alg)}(A^{(M)},1)) = r - 1 である。
• これらの結果は、Xin Wan によって、Q 上の非CM楕円曲線に対して無限に多くの場合に全Birch–Swinnerton-Dyer予想が証明された基盤として用いられ、このような族に対して初めての全証明となった。