[論文レビュー] On the algebraic fundamental groups

Feng-Wen An|ArXiv.org|Oct 26, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、代数的スキームの qc 基本群を、エタール基本群の事前推定を提供する新たな不変量として導入する。分離閉体上での準ガロア被覆の自己同型群の逆極限を構成することにより、著者らは qc 基本群と関数体の分離閉包のガロア群との間に同型を確立し、正規部分群を通じてエタール基本群と関連づける。さらに、分岐被覆の位相的障害を捉える分岐群を定義する。

ABSTRACT

Passing from arithmetic schemes to algebraic schemes, in a similar manner we will have the computation of the étale fundamental group of an algebraic scheme and then will define and discuss the qc fundamental group of an algebraic scheme in this paper. The qc fundamental group will also give a prior estimate of the étale fundamental group.

研究の動機と目的

• 代数的スキームの qc 基本群を定義・研究し、エタール基本群を推定するための道具とする。
• 数論的スキームにおける技術を、特にグロタンディークのセクション予想の文脈で、代数的スキームへと拡張する。
• 未分岐拡張と準ガロア被覆を通じて、エタール基本群のガロア理論的記述を提供する。
• 関連する複素空間の位相的性質を反映する分岐群を商として定義する。

提案手法

• 分離閉体 Ω 上の代数的スキームの準ガロア被覆の自己同型群の逆極限として qc 基本群を定義する。
• 分離閉体 Ω 取りの値をとる、縮小されたアフィン被覆系を用いて、被覆の有向系を構成する。
• qc 基本群と関数体の分離閉包のガロア群との間に群同型を確立する。
• エタール基本群が qc 基本群の正規部分群として埋め込まれることを証明する。
• qc 基本群からそのエタール部分群を除いた商として分岐群を定義し、分岐被覆を捉える。
• 切断環の体論的条件と変換された多様体を用いた準ガロア閉スキームの概念を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エタール基本群は、どのように新しい群論的構成によって代数的スキームに対して推定可能か？
• RQ2 qc 基本群と関数体の分離閉包のガロア群との関係は何か？
• RQ3 qc 基本群はエタール基本群とどのように関連し、その部分群構造はいかなるものか？
• RQ4 代数的スキームの分岐群は、その関連する複素空間の位相的性質をどのように反映するか？
• RQ5 分岐群が消える条件は何か？そしてこれは有限分岐被覆の存在にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 分離閉体 Ω 上の代数的スキーム X に対して、qc 基本群はガロア群 Gal(Ω/k(X)) に同型である。
• エタール基本群 π₁^et(X;s) は、qc 基本群の正規部分群 π₁^qc(X;Ω)_et に同型である。
• 分岐群 π₁^br(X) は、qc 基本群をそのエタール部分群で割った商として定義され、X に有限分岐被覆が存在しないときかつそのときに限り自明である。
• 包含関係 π₁^et(X;s) ⊆ π₁^qc(X;Ω) を通じて、qc 基本群がエタール基本群の事前推定を提供する。
• 構成は、分離閉体における値をとる準ガロア被覆に依存しており、体論的未分岐拡張と整合性を持つ。
• 任意の代数的 k-多様体 X に対して、π₁^qc(X) ≅ Gal(k(X)^sep / k(X)) が成り立ち、群と関数体の分離閉包との直接的な関係を確立する。