[論文レビュー] On the Approximate Nearest Neighbor Queries among Curves under the Fréchet Distance

Majid Mirzanezhad|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2020

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ℝᵈにおける連続Fréchet距離下での多角形曲線間の近似近傍検索（ANNS）に対する、初めての決定的データ構造を提示する。kが事前処理時に既知である場合、空間計算量がn·O((√d/ε)ᵏᵈ)であり、(1+ε)δ-近似クエリをO(kd)時間で達成する。kがクエリに含まれる場合、空間計算量はO((1/ε)ᵐᵈ)に増加するが、クエリ時間はO(kdのまま維持され、定数時間応答が可能なサブトラジェクトリおよびタイムウィンドウクエリが実現可能である。

ABSTRACT

Approximate near-neighbors search ( extsc{ANNS}) is a long-studied problem in computational geometry. %that has received considerable attention by researchers in the community. In this paper, we revisit the problem and propose the first data structure for curves under the (continuous) Fréchet distance in $\Reals^d$. Given a set $¶$ of $n$ curves of size at most $m$ each in $\Reals^d$, and a real fixed $δ>0$, we aim to preprocess $¶$ into a data structure so that for any given query curve $Q$ of size $k$, we can efficiently report all curves in $¶$ whose Fréchet distances to $Q$ are at most $δ$. In the case that $k$ is given in the preprocessing stage, for any $\eps>0$ we propose a deterministic data structure whose space is $n \cdot O\big(\max\big\{\big(\frac{\sqrt{d}}{\eps}\big)^{kd}, \big(\frac{\D\sqrt{d}}{\eps^2}\big)^{kd}\big\}\big)$ that can answer extsc{$(1+\eps)δ$-ANNS} queries in $O(kd)$ query time, where $\D$ is the diameter of $¶$. Considering $k$ as part of the query slightly changes the space to $n \cdot O\big(\frac{1}{\eps}\big)^{md} $ with $O(kd)$ query time within an approximation factor of $5+\eps$. We show that our generic data structure for ANNS can give an alternative treatment of the approximate subtrajectory range searching problem studied by de Berg et al. [8]. We also revisit the time-window data structure for spatial density maps in [6]. Given $θ>0$, and $n$ time-stamped points spread over $m$ regions in a map, for any query window $W$, we propose a data structure of size $O(n/\eps^2)$ and construction time $O((n+m)/\eps^2)$ that can approximately return the regions containing at least $θ$ points whose times are within $W$ in $O(1)$ query time.

研究の動機と目的

• 高次元空間ℝᵈにおける曲線間の近似近傍検索（ANNS）の長年の課題に取り組むこと。
• 任意のサイズkのクエリ曲線Qに対して(1+ε)δ-近似クエリをサポートする決定的で効率的なデータ構造を設計すること。
• 近似サブトラジェクトリレンジ検索（ASRS）や空間密度マップのタイムウィンドウクエリといった関連問題に対応するフレームワークを拡張すること。
• 特に時空間データベースにおけるタイムウィンドウデータ構造に対して、従来の確率的または複雑な手法の簡素化され効率的な代替手段を提供すること。

提案手法

• 時間と位置パラメータのグリッドベースの丸めを用いて、曲線アラインメントの可能性のある空間を離散化し、効率的な検索を可能にするデータ構造を提案する。
• ハッシュテーブルを用いて、丸められたタイムウィンドウに基づいて領域または曲線セグメントをインデックス化し、定数時間でのクエリ解決を実現する。
• クエリウィンドウ[q₁, q₂]を近接するグリッドアラインドウィンドウW₁とW₂に丸めることで、近似誤差を制御する。
• 丸められたウィンドウW₁ ⊆ W₂に対してS₁ ⊆ S* ⊆ S₂が成り立つ性質を活用し、(1+ε)-近似の正しさを保証する。
• (ε, d, k)-ネットとグリッド量子化を用いて、関連する曲線アラインメントの数を制限することで、ANNSのための空間効率的な構造を設計する。
• タイムウィンドウデータ構造にこの手法を統合し、O(n/ε²)の空間とO((n+m)/ε²)の構築時間でO(1)のクエリ時間を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブラインアーレイの空間計算量と効率的なクエリ時間を持つ、ℝᵈにおける連続Fréchet距離下での曲線間ANNSのための決定的データ構造を構築できるか？
• RQ2 実用的な空間計算量とクエリ複雑性を維持しつつ、近似要因を(1+ε)δに制御するにはどうすればよいか？
• RQ3 提案手法を、時空間データベースにおける近似サブトラジェクトリレンジ検索（ASRS）およびタイムウィンドウクエリのサポートに拡張できるか？
• RQ4 線形サイズのデータ構造とサブラインアーレイの前処理時間で、タイムウィンドウクエリに対して定数時間応答を達成することは可能か？

主な発見

• kが事前処理時に既知である場合、提案されたデータ構造は、空間計算量がn·O((√d/ε)ᵏᵈ)であり、O(kd)時間で(1+ε)δ-近似ANNSクエリをサポートする。
• kが事前処理時に固定されていない場合、空間計算量はn·O((1/ε)ᵐᵈ)に増加するが、クエリ時間はO(kdのまま維持され、近似要因は5+εとなる。
• データ構造のサイズがO(n/ε²)、構築時間がO((n+m)/ε²)である場合、タイムウィンドウクエリに対してO(1)のクエリ時間を達成する。
• 2つのグリッド丸めウィンドウW₁とW₂を用いることで、S₁ ⊆ S* ⊆ S₂を保証し、タイムウィンドウクエリに対して(1+ε)-近似を実現するフレームワークを提供する。
• Fréchet距離下でのANNSおよびASRSにおいて、従来の確率的または複雑な手法の簡素化され決定的な代替手段を提供する。
• 本手法は連続的および離散的Fréchet距離の両方に対応可能であり、非対称および対称の両ケースをサポートする。