[論文レビュー] On the approximation properties of bivariate $(p, q)-$Bernstein operators

Ali Karaisa|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$(p,q)$-微積分に基づく二変数$(p,q)$-ベルンシュタイン作用素を導入し、その近似性質を確立している。特に、ヴァロノフスカージャ型の漸近公式を含む。著者らは、モジュラス連続性およびリプシッツ型最大関数を用いて収束速度を導出し、$p_n$および$q_n$に関する適切な条件下で、作用素が関数に一様収束することを証明している。主な結果は、関数の二階偏微分を用いて収束速度を表す二階漸近展開である。

ABSTRACT

In the present study, we have given a corrigendum to our paper on the approximation properties of bivariate $(p, q)-$Bernstein operators. Recently, we \cite{kar} have defined the bivariate $(p, q)-$Bernstein operators. Later, we have aware of Acar et. al \cite{acar} already have given some moments. In this case, we have revised \cite[Lemma 2.3]{kar}.

研究の動機と目的

• 二変数連続関数を近似するために、$(p,q)$-微積分を用いた新しい二変数$(p,q)$-ベルンシュタイン作用素を定義すること。
• コロフキン型収束定理を用いて、提案された作用素の近似性質を調査すること。
• モジュラス連続性およびリプシッツ型最大関数を用いて、収束速度を確立すること。
• 作用素の漸近的挙動を特徴付ける、ヴァロノフスカージャ型の漸近公式を導出すること。$n \to \infty$ のときの収束性を明らかにすること。
• アカールらの$(p,q)$-ベルンシュタイン作用素のモーメントに関する先行研究を踏まえ、以前の研究における補題2.3の修正と精緻化を行うこと。

提案手法

• 二変数$(p,q)$-ベルンシュタイン作用素は、$x$および$y$における一変数$(p,q)$-ベルンシュタイン作用素の積として構成され、$(p,q)$-整数および二項係数が用いられる。
• 作用素は、$p$-シフト階乗および$p,q$-二項展開を含む基底関数$R_{n,k}(p,q;x)$を用いて定義される。
• コロフキンの定理を適用して、$[0,1]^2$ 上での作用素列の一様収束を証明する。
• 収束速度は、モジュラス連続性$\omega(f;\delta)$およびリプシッツ型最大関数$=\tilde{\omega}(f;\delta)$を用いて推定される。
• 関数$f$の2次までのテイラー展開を用い、$[n]_{p_n,q_n} \left( B_n(f;x,y) - f(x,y) \right)$ の極限を分析することで、ヴァロノフスカージャ型定理を確立する。
• 証明は、作用素のモーメントを計算し、$n \to \infty$ における極限をとることに依拠しており、$p_n \to 1$、$q_n \to 1$、$p_n^n \to a$、$q_n^n \to a$ を仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(p,q)$-微積分を用いて、$(p,q)$-ベルンシュタイン作用素の二変数拡張をどのように定義できるか？
• RQ2 新しい二変数$(p,q)$-ベルンシュタイン作用素の一様近似性質は何か？
• RQ3 作用素の収束速度は、関数の滑らかさにどのように依存するか？
• RQ4 $n \to \infty$ のときの作用素の漸近的挙動は何か？ヴァロノフスカージャ型の公式を導出できるか？
• RQ5 $p_n$および$q_n$のパラメータは、収束速度および極限挙動にどのように影響するか？

主な発見

• 条件$p_n \to 1$、$q_n \to 1$、$p_n^n \to a$、$q_n^n \to a$ の下で、二変数$(p,q)$-ベルンシュタイン作用素は$[0,1]^2$ 上で関数$f$に一様収束する。
• 収束速度は$O(\omega(f;\delta_n))$ であり、$\delta_n = \sqrt{\frac{1}{[n]_{p_n,q_n}}}$ である。ここで$\omega$はモジュラス連続性を表す。
• 作用素はヴァロノフスカージャ型の漸近公式を満たす：$\lim_{n\to\infty} [n]_{p_n,q_n} \left( B_n(f;x,y) - f(x,y) \right) = \frac{a(x - x^2)}{2} f_{xx}^{\prime\prime}(x,y) + \frac{a(y - y^2)}{2} f_{yy}^{\prime\prime}(x,y)$。
• $[n]_{p_n,q_n}^2$ 乗の2次モーメント項の極限は有限値に収束する：$\lim_{n\to\infty} [n]_{p_n,q_n}^2 A_{1,n} = 3a$、$\lim_{n\to\infty} [n]_{p_n,q_n}^2 A_{2,n} = -6a$、$\lim_{n\to\infty} [n]_{p_n,q_n}^2 A_{3,n} = 3a$。
• 残差項$\varepsilon(s,t)$ は、コーシー＝シュワルツの不等式および$(s,t) \to (x,y)$ のとき$\varepsilon(s,t) \to 0$ であることから、極限で消える。
• 本研究では、著者自身の研究における以前の補題2.3を修正し、アカールらの$(p,q)$-ベルンシュタイン作用素のモーメントに関する先行研究を認めている。