[論文レビュー] On the Arithmetic Dynamics of Monomial Maps

Jan-Li Lin|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、代数的トーラスに限らない任意のトーリック多様体上の単項マップに対して、シルバーマンの算術的力学系に関する予想（高さの増大、Mordell-Lang、Manin-Mumford）を拡張する。軌道-鋸の対応と特性多項式による力学的次数の解析を用いて、算術的次数が代数的整数であり、有限個であることを証明し、商写像によるトーラスへの還元によって予期的点を特徴付ける。

ABSTRACT

We generalized several results for the arithmetic dynamics of monomial maps, including Silverman's conjectures on height growth, dynamical Mordell-Lang conjecture, and dynamical Manin-Mumford conjecture. These results are originally known for monomial maps on algebraic tori. We extend the results to arbitrary toric varieties.

研究の動機と目的

• 一般のトーリック多様体上の単項マップに対して、高さ増大、力学的Mordell-Lang、Manin-Mumfordに関するシルバーマンの予想を拡張する。
• 代数的トーラス $\mathbb{G}_m^n$ からの結果を、$\mathbb{G}_m^n$ を稠密な開部分集合として含む任意のトーリック多様体へ一般化する。
• 商構造を用いて、トーリック多様体上の単項マップの予期的点の集合を特徴付ける。
• 算術的次数が代数的整数であり、有限個の集合をなすこと、およびその値が特性多項式の既約因子のスペクトル半径によって定まるこを確立する。
• 点が部分多様体へ写される反復回数の集合が、算術的等差数列の有限個の和集合であることを証明し、力学的Mordell-Lang予想をトーリック多様体上の単項マップへ拡張する。

提案手法

• トーリック幾何における軌道-鋸の対応を用いて、定義域を $\mathbb{T}$-軌道に分解し、それぞれの軌道上での力学的挙動を解析する。
• 整数行列 $A$ を用いて単項マップを定義し、$\varphi_A$ が $\mathbb{G}_m^n$ から任意のトーリック多様体 $X(\Delta)$ へ拡張できることを示す。
• ワイエル高さマシンを用いて算術的次数 $\alpha_\varphi(P)$ を計算し、$A$ の特性多項式のスペクトル解析により極限が存在することを示す。
• 算術的次数を $\det(A - tI)$ の既約因子 $f_i(t)$ のスペクトル半径 $\rho(f_i)$ と関連付け、$\alpha_\varphi(P) \in \{1, \rho(f_1), \dots, \rho(f_s)\}$ を証明する。
• 商写像 $\pi: O_\sigma \to O_\sigma / G_\sigma \cong \mathbb{G}_m^{d-\ell}$ を用いて、予期的点問題をラウレンスの定理（ torsion 点に関する）に還元する。
• ラウレンスの定理（代数的部分群における torsion 点に関する）を適用し、ザリスキ密な予期的点集合をもつ部分多様体が、商トーラス内の部分群の torsion ずれに一致することを特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリック多様体上での正の軌道が well-defined なすべての $P$ に対して、算術的次数 $\alpha_\varphi(P)$ が存在し、代数的整数であるか。
• RQ2 トーリック多様体上の単項マップに対して、算術的次数の集合 $\{\alpha_\varphi(P) \mid P \in X_{\varphi}(\bar{\mathbb{Q}})\}$ は有限か。
• RQ3 射影的トーリック多様体上の単項マップに対して、力学的Mordell-Lang予想は成り立つか。すなわち、集合 $\{k \in \mathbb{N} \mid \varphi^k(P) \in Y\}$ は算術的等差数列の有限個の和集合か。
• RQ4 どの既約部分多様体 $Y \subset X$ が単項マップ $\varphi$ に関してザリスキ的に稠密な予期的点集合を含むか。
• RQ5 商トーラスに還元し、ラウレンスの定理を適用することによって、トーリック多様体上の単項マップに対する力学的Manin-Mumford問題を解けるか。

主な発見

• すべての $P \in X_{\varphi}(\bar{\mathbb{Q}})$ に対して算術的次数 $\alpha_\varphi(P)$ が存在し、$f_i$ が定義行列 $A$ の特性多項式のモニック既約因子であるとき、有限集合 $\{1, \rho(f_1), \dots, \rho(f_s)\}$ の値をとる。
• 算術的次数の集合は有限であり、$\det(A - tI)$ の既約因子のスペクトル半径と 1 からなる。これは、シルバーマンの予想の (1)、(2)、(3) 部分がトーリック設定で成立することを証明する。
• 力学的Mordell-Lang予想は、トーリック多様体上の単項マップに対して成り立つ。任意の閉部分多様体 $Y \subset X$ に対して、集合 $\{k \in \mathbb{N} \mid \varphi^k(P) \in Y\}$ は算術的等差数列の有限個の和集合である。
• マップ $\varphi$ の予期的点が閉既約部分多様体 $Y \subset X_{\varphi}$ においてザリスキ的に稠密であることは、$Y \cap O_\sigma$ の商写像 $\pi: O_\sigma \to O_\sigma / G_\sigma$ による像が、商トーラス内の代数的部分群の torsion ずれであることに同倣する。
• トーリック多様体上の単項マップ $\varphi$ に対して、予期的点の集合は、$\mathbb{T}$-軌道 $O_\sigma$ の連結な代数的部分群 $G_\sigma$ の $\bigsqcup G_\sigma^{\mathrm{div}}$ としての直和に等しい。
• ザリスキ的に稠密な予期的点集合をもつ部分多様体の特徴付けは、ラウレンスの定理に還元される。このような部分多様体は、商トーラス $O_\sigma / G_\sigma \cong \mathbb{G}_m^{d-\ell}$ 内の torsion ずれに対応する。