[論文レビュー] The Dynamical Manin-Mumford Conjecture and the Dynamical Bogomolov Conjecture for split rational maps

Dragos Ghioca, Khoa D. Nguyen+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$\ mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上の分離有理写像 $\Phi = (f,g)$ に対して、動的 Manin-Mumford および動的 Bogomolov 予想を証明し、非例外的条件下で、無限個の前周期的点を含む既約曲線 $C$ が、ある $\Phi$ の反復作用の下で前周期的であることと同値であることを示している。証明は、小高さ点の等分布性とジュリア集合の対称性、およびYuanとZhangの特殊化定理を組み合わせている。

ABSTRACT

We prove the Dynamical Bogomolov Conjecture for endomorphisms of P^1 imes P^1 defined over a number field. We use the equidistribution theorem for points of small height with respect to an algebraic dynamical system, combined with a theorem of Levin regarding symmetries of the Julia set. Using a specialization theorem of Yuan and Zhang, we prove the Dynamical Manin-Mumford Conjecture for endomorhisms of P^1 imes P^1 defined over the complex numbers.

研究の動機と目的

• 複素数体 $\mathbb{C}$ 上の $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上の自己準同型 $\Phi = (f,g)$ に対して、動的 Manin-Mumford 予想を確立すること。
• 代数的数体 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上のこのような写像に対して、動的 Bogomolov 予想を証明し、正規化高さがゼロである点が前周期的集合に含まれることを結びつけること。
• モノミアル、チェビシェフ多項式、および Lattès 写像といった例外的写像を除いて、極化可能でない写像に対してもこれらの結果を拡張すること。
• 動的および算術的条件を用いて、$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 内の曲線がいつ無限個の $\Phi$-前周期的点を含むかを同定すること。

提案手法

• 動的系 $\Phi$ に関する小 canonical 高さ点の等分布定理を用いる。
• 有理関数のジュリア集合の対称性に関するLevinの定理を適用し、可能な動的挙動を制限する。
• YuanとZhangの特殊化定理を用いて、$\overline{\mathbb{Q}}$ から $\mathbb{C}$ への結果の下降を実行する。
• Medvedev-Scanlon理論を用いて、可換多項式とその反復の構造を分析し、不変曲線を分類する。
• 多項式力学における線形共役と係数比較を用いて、次数および定数に関する条件を導出する。
• 問題を、$F^{\ell_1} \times G^{\ell_2}$ が非自明な周期的曲線を持つ場合に還元し、$d_1 = d_2$ および $c_1 = \zeta c_2$ の条件に帰着させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離有理写像 $\Phi = (f,g)$ に対して、$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 内の既約曲線 $C$ が無限個の $\Phi$-前周期的点を含む条件は何か？
• RQ2 曲線 $C$ が前周期的でない場合に、$C$ 上の canonical 高さの和がゼロに近づく無限列の点が存在する条件は何か？
• RQ3 動的および算術的条件が、曲線 $C$ が $\Phi = (f,g)$ のある反復作用の下で前周期的であることを保証するにはどのようなものか？
• RQ4 $f$ および $g$ のジュリア集合の対称性が、$C$ 上の前周期的点の存在をどのように制限するか？
• RQ5 多項式 $F(x) = x^{d_1} + c_1$ と $G(x) = x^{d_2} + c_2$ が、$F^{\ell_1} \times G^{\ell_2}$ に非自明な周期的曲線を持つのはいつか？

主な発見

• 既約曲線 $C \subset \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ が無限個の $\Phi$-前周期的点を含むことと、ある $\ell_1, \ell_2$ に対して $C$ が $\Phi^{\ell_1} \times \Phi^{\ell_2}$ の下で前周期的であることは同値であり、その条件は $d_1^{\ell_1} = d_2^{\ell_2}$ を満たす。
• 有理関数 $f$ および $g$ が $\overline{\mathbb{Q}}$ 上に定義されているとき、$C$ 上に canonical 高さの和がゼロに近づく無限列の点が存在することは、$C$ が $\Phi$ のある反復作用の下で前周期的であることと同値である。
• 多項式 $F(x) = x^{d_1} + c_1$ および $G(x) = x^{d_2} + c_2$ が、モノミアルやチェビシェフ多項式に線形共役でない場合、$F^{\ell_1} \times G^{\ell_2}$ が非自明な周期的曲線を持つことは、$d_1 = d_2$ かつ $c_1 = \zeta c_2$（$\zeta$ は $(d_1 - 1)$ 乗単位根）であることと同値である。
• Levinのジュリア集合の対称性定理により、曲線 $C$ が無限個の前周期的点を含むならば、その動的挙動は $f$ および $g$ のジュリア集合の対称性によって制限される。
• YuanとZhangの特殊化定理により、$\overline{\mathbb{Q}}$ 上の結果を $\mathbb{C}$ に持ち上げることができ、これにより $\mathbb{C}$ 上での動的 Manin-Mumford 予想の証明が可能になる。
• 本論文は、極化可能性を仮定しないで、$f$ および $g$ が例外的でない限り、$\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上の分離写像 $\Phi = (f,g)$ に対して動的 Bogomolov 予想を確立している。