[論文レビュー] On the average number of 2-Selmer elements of elliptic curves over F_q(X) with two marked points

Jack A. Thorne|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、F_q(X) 上の楕円曲線に2つのマークされた非 torsion 有理点を持つものについて、特定の部分族に注目し、2-Selmer群の平均サイズが正確に12であることを証明している。また、G ≅ SL₂⁴ である G- torsor のモジュライ空間への写像を通じて2-Selmer要素の像が極限において等分布することを示している。

ABSTRACT

We consider elliptic curves over global fields of positive characteristic with two distinct marked non- trivial rational points. Restricting to a certain subfamily of the universal one, we show that the average size of the 2-Selmer groups of these curves exists, in a natural sense, and equals 12. Along the way, we consider a map from these 2-Selmer groups to the moduli space of G-torsors over an algebraic curve, where G is isogenous to SL_2^4 , and show that the images of 2-Selmer elements under this map become equidistributed in the limit.

研究の動機と目的

• F_q(X) 上の2つの異なる非自明な有理点を持つ特定の部分族の楕円曲線における2-Selmer群の平均サイズを調査すること。
• G が SL₂⁴ に同種である場合の G- torsor のモジュライ空間における2-Selmer要素の分布を分析すること。
• この族における2-Selmer群の自然な平均サイズの存在を確立すること。
• q → ∞ の極限において、幾何的写像を通じて2-Selmer要素の像が等分布することを示すこと。

提案手法

• F_q(X) 上の2つのマークされた非 torsion 有理点を持つ楕円曲線の普遍族の部分族に限定して考察する。
• 2-Selmer群から、G が SL₂⁴ に同種である G- torsor のモジュライ空間への写像を定義する。
• 正標数のグローバル体上での幾何学的・算術的技法を用いて、この写像による2-Selmer要素の像を分析する。
• q → ∞ の極限における等分布結果を、モジュライ空間の構造を活用して適用する。
• torsor の幾何学と関数体の算術を用いて、2-Selmer集合のサイズと分布を制御する。
• 代数的幾何学と算術統計の道具を用いて、2-Selmer群の平均サイズを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 F_q(X) 上の2つのマークされた非 torsion 有理点を持つ特定の部分族の楕円曲線における2-Selmer群の平均サイズは何か？
• RQ2 G が SL₂⁴ に同種である G- torsor のモジュライ空間へ写像された2-Selmer要素は、どのように分布するか？
• RQ3 q → ∞ の極限において、この写像による2-Selmer要素の像は等分布するか？
• RQ4 この幾何的設定において、2-Selmer群の平均サイズが存在し、かつ有限であることを示せるか？
• RQ5 G- torsor のモジュライ空間の構造は、Selmer群のサイズと分布を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 指定された部分族の楕円曲線における2-Selmer群の平均サイズは正確に12である。
• G ≅ SL₂⁴ である G- torsor のモジュライ空間への写像による2-Selmer要素の像は、q → ∞ の極限において等分布する。
• この族における2-Selmer群の自然な平均サイズの存在が確立された。
• モジュライ空間への幾何的写像は、分布とサイズを分析するための重要な道具である。
• この結果は、算術統計と関数体上の torsor の幾何学との深い相互作用に依存している。
• 等分布結果は、大きさ q が増加する有限体の極限において成り立つ。