[論文レビュー] Average size of the 2-Selmer group of Jacobians of monic even hyperelliptic curves

Arul Shankar, Xiaoheng Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、高さで順序付けられた、有理数体 ℚ 上のモニック偶数次超楕円曲線のヤコビアンに対して、マークされた有理数非ワイエルシュトラス点を持つものの 2-セレマー群の平均サイズを計算する。軌道法と等分布技法を用いて、平均サイズが正確に 6 に等しいことを示し、これによりこれらのヤコビアンの平均モーデル・ヴェイユランクに 5/2 の上界が得られ、大規模な genus を持つような多くの曲線がちょうど 2 つの有理点を持つことを示している。

ABSTRACT

In [5], Manjul Bhargava and Benedict Gross considered the family of hyperelliptic curves over $\Q$ having a fixed genus and a marked rational Weierstrass point. They showed that the average size of the 2-Selmer group of the Jacobians of these curves, when ordered by height, is 3. In this paper, we consider the family of hyperelliptic curves over $\Q$ having a fixed genus and a marked rational non-Weierstrass point. We show that when these curves are ordered by height, the average size of the 2-Selmer group of their Jacobians is 6. This yields an upper bound of 5/2 on the average rank of the Mordell-Weil group of the Jacobians of these hyperelliptic curves. Finally using an equidistribution result, we modify the techniques of [16] to conclude that as $g$ tends to infinity, a proportion tending to 1 of these monic even-degree hyperelliptic curves having genus $g$ have exactly two rational points - the marked point at infinity and its hyperelliptic conjugate.

研究の動機と目的

• 有理数体 ℚ 上のモニック偶数次超楕円曲線のヤコビアンに対して、マークされた有理数非ワイエルシュトラス点を持つものの 2-セレマー群の平均サイズを特定すること。
• これらのヤコビアンのモーデル・ヴェイユ群の平均ランクに対する上界を確立すること。
• 特に genus g → ∞ の極限において、このような曲線の有理点の分布を分析すること。
• バルガヴァとグロスがワイエルシュトラス点をマークした場合に研究した手法を、非ワイエルシュトラスの場合に拡張すること。
• 等分布および局所-大域的技法を用いて、多くのこのような曲線がちょうど 2 つの有理点を持つことを示すこと。

提案手法

• ガロアコhomオロジーと幾何的軌道論を用いて、整数表現の有理点軌道をパラメトライズすること。
• 2次形式の束の理論を用いて、2-セレマー群を表現空間内の整数軌道の数え上げとして解釈すること。
• 基本領域を構成し、カットオフを用いた平均化技法を適用して、軌道数え上げ過程におけるカスプを制御すること。
• 局所的条件を扱い、グローバルな数え上げが正確になるように、平方自由なふnow チェックを適用すること。
• 測度の整合性と局所的計算を用いて、所定の局所的性質を持つ曲線の密度を制御すること。
• [19] の等分布結果を活用して、genus が増大する際、正の割合の曲線がちょうど 2 つの有理点を持つことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さで順序付けられた、マークされた有理数非ワイエルシュトラス点を持つモニック偶数次超楕円曲線のヤコビアンの 2-セレマー群の平均サイズは何か？
• RQ2 マークされたワイエルシュトラス点を持つ場合と比較して、このようなヤコビアンのモーデル・ヴェイユ群の平均ランクはどのように異なるか？
• RQ3 大規模な genus g を持つモニック偶数次超楕円曲線のうち、ちょうど 2 つの有理点を持つ割合はどの程度か？
• RQ4 非ワイエルシュトラスの場合に 2-セレマー群の平均サイズが 6 になるのはなぜか、ワイエルシュトラスの場合の 3 と比較して。
• RQ5 等分布とシャバウティュ型の手法を用いて、多くのこのような曲線が最小の有理点集合を持つことを示せるか？

主な発見

• マークされた有理数非ワイエルシュトラス点を持つモニック偶数次超楕円曲線のヤコビアンの 2-セレマー群の平均サイズは、高さで順序付けられた場合に正確に 6 に等しい。
• この結果は、係数に関する有限個の合同条件によって定義される任意の族に制限しても成り立つ。
• これらのヤコビアンのモーデル・ヴェイユ群の平均ランクは 5/2 未満である。
• genus g ≥ 2 のような曲線の正の割合に対して、2-セレマー群のサイズは 6 に等しく、この上限は鋭い。
• g → ∞ のとき、このようなモニック偶数次超楕円曲線のうち、ちょうど 2 つの有理点を持つ割合は 1 に近づく：無限遠点としてマークされた点とそのハイパーエリプティック共役点である。
• この結果は、100% のこのような曲線において、ヤコビアン上での類 (∞′)−(∞) が 2 で割り切れないというヒューリスティックな期待を裏付けている。