[論文レビュー] On the chordality of polynomial sets in triangular decomposition in top-down style

Chenqi Mou, Yang Bai|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Polynomial and algebraic computation参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、トップダウンスタイルによる三角分解の過程で、多項式集合の弦的グラフ構造を調査し、入力多項式集合の関連グラフが弦的である場合、王の手法によって計算される中間多項式集合（三角多項式集合を含む）のすべての関連グラフが、入力の弦的グラフの部分グラフであることを証明する。この構造的保存則により、スパースな多項式系における複雑さの精密分析と、効率性の向上が可能になる。

ABSTRACT

In this paper the chordal graph structures of polynomial sets appearing in triangular decomposition in top-down style are studied when the input polynomial set to decompose has a chordal associated graph. In particular, we prove that the associated graph of one specific triangular set computed in any algorithm for triangular decomposition in top-down style is a subgraph of the chordal graph of the input polynomial set and that all the polynomial sets including all the computed triangular sets appearing in one specific simply-structured algorithm for triangular decomposition in top-down style (Wang's method) have associated graphs which are subgraphs of the the chordal graph of the input polynomial set. These subgraph structures in triangular decomposition in top-down style are multivariate generalization of existing results for Gaussian elimination and may lead to specialized efficient algorithms and refined complexity analyses for triangular decomposition of chordal polynomial sets.

研究の動機と目的

• 弦的グラフを用いた三角分解において生じる多項式集合のグラフ構造を分析すること。
• 入力多項式集合の弦的性質が、トップダウンスタイルの分解プロセスに与える影響を理解すること。
• 特に王の手法において、分解過程でのグラフ部分構造の保存に関する理論的保証を確立すること。
• 弦的グラフ構造を用いて変数のスパarsityを表現し、三角分解の複雑さの分析を精緻化すること。
• グラフ論的アプローチを通じて、多変数多項式系におけるガウスの消去法の知見を拡張すること。

提案手法

• 多項式間の共有変数に基づいて、多項式集合の関連グラフを定義する。
• 関連グラフが弦的である多項式集合を「弦的多項式集合」として導入する。
• 任意のトップダウンスタイルのアルゴリズムに対して、計算された三角多項式集合の関連グラフが、入力の弦的グラフの部分グラフであることを証明する。
• 分解木として王の手法を再定式化し、すべての中間多項式集合における構造的不変量を分析する。
• 王の手法において、すべての中間多項式集合が、入力の弦的グラフからの部分グラフ性を継承することを示す。
• 複雑さの分析のための、関連グラフを用いた重みなしおよび重み付きの変数スパarsityの測定法を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力多項式集合の弦的グラフ構造は、トップダウン的三角分解のプロセスにどのように影響するか？
• RQ2 トップダウンアルゴリズムによって計算された三角多項式集合の関連グラフが、入力の弦的グラフの部分グラフである条件は何か？
• RQ3 王の手法において、入力多項式集合の弦的構造が、分解プロセス全体にわたり保存されるか？
• RQ4 入力グラフの木幅と、トップダウンスタイルにおける三角分解の複雑さの関係は何か？
• RQ5 弦的グラフ構造をどのように活用することで、多項式系の解法における複雑さの分析を精緻化し、効率性を向上させられるか？

主な発見

• 任意のトップダウンアルゴリズムによって計算された三角多項式集合の関連グラフは、入力多項式集合の弦的関連グラフの部分グラフである。
• 王の手法において、すべての中間多項式集合（三角多項式集合を含む）の関連グラフは、入力の弦的グラフの部分グラフである。
• 王の手法によって最初に計算される三角多項式集合の関連グラフは、入力多項式集合の関連グラフと同一である。
• 王の手法によって計算される他の三角多項式集合の関連グラフは、入力の弦的グラフの真部分グラフである。
• 多項式集合の変数スパarsityは、関連グラフの辺密度を用いて定量的に測定可能である。
• 変数ペアを共有する多項式の数に基づく重み付き変数スパarsityは、複雑さの分析に向けた精緻な測定法を提供する。