[論文レビュー] On the Chow ring of certain algebraic hyper-Kähler manifolds

C. Voisin|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、代数的ハイパーケーラー多様体のチャウ環に関するブルーヴィルの予想の一般化版を提示し、その証明を行う。具体的には、ラインバンドルおよび接バンドルのチャーン類の多項式関係が、コホロロジーからチャウ群へと持ち上がることを示している。同予想は、ホッジ数の上限がある条件下で、K3表面のヒルベルトスクリプト $S^{[n]}$ および立方四乗曲面のラインのファノ多様体に対して成立することが示され、コホロロジー的消失と変形論的手法が用いられている。

ABSTRACT

We study a generalization of a conjecture made by Beauville on the Chow ring of hyper-Kähler algebraic varieties. Namely we prove in a number of cases that polynomial cohomological relations involving only CH^1(X) and the Chern classes of X are satisfied in CH(X). These cases are : punctual Hilbert schemes of a K3 surface S parameterizing subschemes of length n, for n<2b_2(S)_tr+5; Fano varieties of lines in a cubic fourfold.

研究の動機と目的

• ハイパーケーラー多様体のチャウ環に関するブルーヴィルの予想を、ラインバンドルおよび接バンドルのチャーン類を含む関係へと拡張すること。
• 超越的格子のランクに上限がある条件下で、K3表面 $S$ のヒルベルトスクリプト $S^{[n]}$ に対して同予想を確立すること。
• ヒルベルトスクリプトとはならないが、立方四乗曲面のラインのファノ多様体に対し、同予想を証明すること。
• K3表面の $S^m$ のチャウ環に関するより強い予想の特殊ケースを証明することで、同予想の証拠を提供すること。

提案手法

• 多項式式のコホロロジー的類が消える条件の下で、$CH(S^m)$ 内でその式が消えるという、鍵となる予想（予想 0.6）を証明する。このとき $m$ と対称性に関する条件を課す。
• K3表面に関する[5]の結果を用いて、問題を $CH(S^m)$ 内の $c_1(L)$, $o$, および $ riangle_S$ 間の関係に還元する。
• 変形論および特殊化の議論を用いて、立方四乗曲面のラインのファノ多様体に対して予想を検証する。
• ブロッハ＝スリンイヴァスの議論を用い、$ ilde{F} \times F$ 上のサイクルを有理同値に結びつける。この際、自己同型 $ ilde{ heta}$ の作用を活用する。
• $Pic\tilde{F}$ および $CH_1(\tilde{F})$ が立方四乗曲面とそのファノ多様体の幾何から制御されることを活用する。
• $H^*(S^{[n]})$ の既知のコホロロジー的構造とヴェルビツキーの結果を用いて、低コドメインにおけるチャウ環を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーケーラー多様体上で、ラインバンドルおよび接バンドルのチャーン類の多項式コホロロジー的関係が、チャウ群においても常に成立するか？
• RQ2 どの $n$ およびどの $K3$ 表面 $S$ に対して、一般化されたブルーヴィル予想が $S^{[n]}$ に対して成立するか？
• RQ3 ヒルベルトスクリプトとはならないが、立方四乗曲面のラインのファノ多様体に対しても、同予想は成立するか？
• RQ4 対称性または境界条件の下で、$CH(S^m)$ 内の多項式式の消える条件が、そのコホロロジー的類の消えることから導けるか？
• RQ5 $S^{[n]}$ のチャウ環と、対称積による $S^m$ のチャウ環との間の明確な関係は何か？

主な発見

• $Y = S^{[n]}$ に対して、予想 0.3 は $n \nleq 2b_2(S)_{tr} + 4$ のとき成立し、接バンドル類を含むブルーヴィルの元の予想が一般化される。
• ヒルベルトスクリプトとはならないが、立方四乗曲面のラインのファノ多様体に対しても同予想が証明され、$Pic(F) = \mathbb{Z}$ を満たす。
• $Y = S^{[n]}$ に対して、$b_2(S)_{tr}$ に依存せず、すべての $n$ に対してコドメイン $2n-2$, $2n-1$, および $2n$ で同予想が成立する。
• より強い定理 1.1 により、$c_1(L)$, $c_i(\mathcal{O}_{[n]})$, および $c_j(T_n)$ の多項式式がコホロロジー的にゼロであれば、$CH(S^{[n]})$ 内でもゼロであることが示された。このとき同じ境界条件が適用される。
• 証明は、予想 0.6 の特殊ケースの検証に依存しており、これは、$pr_i^*o$, $pr_j^*c_1(L)$, および $pr_{kl}^* riangle_S$ の対称的式がコホロロジー的にゼロであれば、$CH(S^m)$ 内でもゼロであるという主張である。
• ファノ多様体の場合は、変形論、自己同型 $\phi$ の作用、およびブロッハ＝スリンイヴァス法を用いて、サイクル類の有理同値性を示すことで確立された。