[論文レビュー] On the Chow theory of projectivizations

Qingyuan Jiang|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 47被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ホモロジー次元 ≤1 である俉層の射影化について、Chow 群とモチーフへの導来カテゴリの半直交分解の一般化である Chow 理論的分解公式を確立する。滑らかさおよび次元の弱い条件の下で、このような射影化の Chow 群は、特異点集合のスプリンガー型解体の Chow 群と、底空間のずらされた Chow 群の直和に分解されることを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we prove a decomposition result for the Chow groups of projectivizations of coherent sheaves of homological dimension $\le 1$. In this process, we establish the decomposition of Chow groups for the cases of Cayley's trick and standard flips. Moreover, we apply these results to study the Chow groups of symmetric powers of curves, nested Hilbert schemes of surfaces, and the varieties resolving Voisin maps for cubic fourfolds.

研究の動機と目的

• 俇層のホモロジー次元 ≤1 の射影化に対する導来カテゴリの半直交分解を、Chow 群とモチーフの設定へ拡張すること。
• [JL18] における射影化公式の Chow 理論的類似を、退化集合に条件 (A) または (B) が成り立つ場合に有効とするものとして確立すること。
• 分解を用いて、曲線の対称べき、表面のネストドヒルバートスキーム、およびキュービック4次超曲面のボイシン写像の解体に、Chow 群を計算すること。
• Chow 群の同型が、実現関手を介して Chow モチーフおよび有理ホッジ構造の同型を誘導することを示すこと。
• 半直交分解の脱カテゴリ化を通じて、交差ホモロジー、Quot スキーム、および導来カテゴリへの広範な影響を検討すること。

提案手法

• 滑らかさおよび弱次元条件 (A) の下、または予想される次元条件 (B) の下で、俇層の射影化の Chow 理論的分解を、2通りの別個の方法で証明すること。
• Cayley のトリックを用いて、射影化の Chow 群を、最初の Ext 俇層上の双対射影化の Chow 群と関連付けること。
• 代数幾何における標準的フリップを分析し、吹き上げと解体を用いて、特異射影化の Chow 群を分解すること。
• 対称べきの曲線に分解を適用する際、それらをヤコビアン上の俇層の射影化として実現すること。
• Chow 群の同型を用いて、Manin の同一性原理により Chow モチーフの同型を誘導すること。
• ベッチコホモロジー実現を活用し、モチーフの同型から有理ホッジ構造の同型を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来カテゴリの半直交分解が、ホモロジー次元 ≤1 の俇層の射影化に対して、Chow 群の同型へ持ち上げられるか。
• RQ2 どのような条件下で、俇層の射影化の Chow 群が、スプリンガー型解体の Chow 群と底空間のずらされた Chow 群の直和に分解されるか。
• RQ3 Chow 理論的分解が Chow モチーフおよび有理ホッジ構造の同型を誘導するか。
• RQ4 この分解を、曲線の対称べきおよび表面のネストドヒルバートスキームの Chow 群の計算に適用できるか。
• RQ5 射影化公式をスタックへ一般化できる範囲はどの程度か、また、高次 Chow 群および環構造へ拡張可能か。

主な発見

• Cohen–Macaulay スキーム $X$ とランク $r$ でホモロジー次元 ≤1 である俇層 $\mathscr{G}$ に対して、条件 (A) または (B) を満たすとき、次式の分解が成り立つ： $\operatorname{CH}_{k}(\mathbb{P}(\mathscr{G}))\simeq\operatorname{CH}_{k-r}(\mathbb{P}(\mathscr{E}^{1}(\mathscr{G},\mathscr{O}_{X})))\oplus\bigoplus_{i=0}^{r-1}\operatorname{CH}_{k-(r-1)+i}(X)$。
• もし $X$、$\mathbb{P}(\mathscr{G})$、および $\mathbb{P}(\mathscr{E}^{1}(\mathscr{G},\mathscr{O}_{X}))$ が滑らかで射影的であれば、次式の整数 Chow モチーフの同型が成り立つ： $\mathfrak{h}(\mathbb{P}(\mathscr{G}))\simeq\mathfrak{h}(\mathbb{P}(\mathscr{E}^{1}(\mathscr{G},\mathscr{O}_{X})))(r)\oplus\bigoplus_{i=0}^{r-1}\mathfrak{h}(X)(i)$。
• モチーフの同型は、次式の有理ホッジ構造の同型を誘導する： $H^{n}(\mathbb{P}(\mathscr{G}),\mathbb{Q})\simeq H^{n-2r}(\mathbb{P}(\mathscr{E}^{1}(\mathscr{G},\mathscr{O}_{X})),\mathbb{Q})\oplus\bigoplus_{i=0}^{r-1}H^{n-2i}(X,\mathbb{Q})$（すべての $n\geq 0$ に対して）。
• この分解は、曲線の対称べきに適用可能である： $\operatorname{CH}_{k}(C^{(g-1+n)})\simeq\operatorname{CH}_{k-n}(C^{(g-1-n)})\oplus\bigoplus_{i=0}^{n-1}\operatorname{CH}_{k-(n-1)+i}(\operatorname{Jac}(C))$。
• 表面 $S$ 上のネストドヒルバートスキーム $\mathrm{Hilb}_{n,n+1}(S)$ に対しても、射影化公式を用いて Chow 群の分解が成り立つ。
• $F(Y)\times F(Y)$ の対角に沿った吹き上げに対して、次式の同型が成り立つ： $\Gamma^{*}\oplus\pi^{*}\colon\operatorname{CH}_{k-1}(\widetilde{Z})\oplus\operatorname{CH}_{k}(F(Y)\times F(Y))\xrightarrow{\sim}\operatorname{CH}_{k}(\operatorname{Bl}_{Z}(F(Y)\times F(Y)))$、ここで $\widetilde{Z}=\mathbb{P}(\mathscr{E}^{1}(\mathcal{P},\mathcal{F}))$ である。