[論文レビュー] On the classification of hyperbolic root systems of the rank three. Part III

Viacheslav V. Nikulin|ArXiv.org|May 24, 1999

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特異型・放物型の分類が第I部および第II部で完了したのちに残っていた、ランク3の双曲型根系の分類を完了する。具体的には、制限付き算術型で、一般化されたラティス・ワイルベクトル ρ² < 0 を満たす、最大の双曲型根系に注目する。双曲幾何学および中心対称性の類数理論の高度な技術を用いて、このカテゴリーに属するすべての反射的素性を持つランク3の双曲型格子を分類し、楕円型および放物型の既存の研究を拡張するとともに、ローレンツ型カク＝ムーディ代数やミラー対称性への応用のための基盤的ツールを提供する。

ABSTRACT

See Parts I and II in alg-geom/9711032 and alg-geom/9712033. Here we classify maximal hyperbolic root systems of the rank three having restricted arithmetic type and a generalized lattice Weyl vector $ρ$ with $ρ^2&lt;0$ (i. e. of the hyperbolic type). We give classification of all reflective of hyperbolic type elementary hyperbolic lattices of the rank three. For elliptic (when $ρ^2&gt;0$) and parabolic (when $ρ^2=0$) types it was done in Parts I and II. We apply the same arguments as for elliptic and parabolic types: the method of narrow parts of polyhedra in hyperbolic spaces, and class numbers of central symmetries. But we should say that for the hyperbolic type all considerations are much more complicated and required much more calculations and time. These results are important, for example, for Theory of Lorentzian Kac--Moody algebras and some aspects of Mirror Symmetry. We also apply these results to prove boundedness of families of algebraic surfaces with almost finite polyhedral Mori cone (see math.AG/9806047 about this subject).

研究の動機と目的

• 第I部および第II部で楕円型および放物型がカバーされたのちに残っていた、双曲型の分類を完了すること。
• 制限付き算術型で、ρ² < 0 を満たす一般化されたワイルベクトルをもつ、すべての反射的素性を持つランク3の双曲型格子を分類すること。
• 双曲空間における多面体の狭い部分の手法および中心対称性の類数理論を、より複雑な双曲型の場合に拡張すること。
• ローレンツ型カク＝ムーディ代数およびミラー対称性の応用のための基盤を提供すること。
• 関連研究（math.AG/9806047）に応用される、ほとんど有限な多面体的モアリ・コーンをもつ代数的表面の族の有界性を証明すること。

提案手法

• 双曲空間における多面体の狭い部分の手法を、双曲型の場合の根系の構造を分析するために適応する。
• 中心対称性の類数理論を適用して、可能な反射的格子を制限・分類する。
• 一般化されたラティス・ワイルベクトル ρ を用い、ρ² < 0 を満たすことを、双曲型根系を区別する主要な不変量として用いる。
• 従来、楕円型（ρ² > 0）および放物型（ρ² = 0）のタイプに用いられてきた手法を、より複雑な双曲型設定に拡張する。
• 制限付き算術型の下で、最大構成を同定するために、根格子の詳細な幾何学的および算術的解析を実施する。
• 双曲幾何学および反射群の枠組みに依拠して、有限性および分類に関する結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制限付き算術型で ρ² < 0 を満たす、ランク3の最大の双曲型根系の完全な分類は何か？
• RQ2 双曲空間における多面体の狭い部分の手法および中心対称性の類数理論を、ランク3の反射的双曲型格子の分類にどのように拡張できるか？
• RQ3 反射的素性を持つランク3の双曲型格子が、双曲型タイプにおいて、どのような構造的および算術的制約を満たすか？
• RQ4 これらの分類は、ローレンツ型カク＝ムーディ代数の理論にどのように寄与するか？
• RQ5 この分類を用いて、ほとんど有限な多面体的モアリ・コーンをもつ代数的表面の族の有界性を確立できるか？

主な発見

• 本稿は、制限付き算術型で ρ² < 0 を満たす、すべての反射的素性を持つランク3の双曲型格子の完全な分類を提供する。
• このような格子の数が有限であり、幾何学的および算術的制約を用いて明示的にその構造を同定している。
• 分類は、双曲型の場合に著しく複雑化するため、狭い部分の手法および類数解析の高度な適応によって達成されている。
• 結果として、楕円型および放物型（第I部および第II部）の既存の分類が、ランク3の双曲型根系の完全な分類にまで拡張された。
• 結果は、math.AG/9806047で応用された、ほとんど有限な多面体的モアリ・コーンをもつ代数的表面の族の有界性を支持する。
• 本研究は、ローレンツ型カク＝ムーディ代数およびミラー対称性分野におけるさらなる研究のための基盤的ツールおよびデータを提供する。