[論文レビュー] On the classification of Regular Lie groupoids

Ieke Moerdijk|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、正則なリー群コアの構造を2つの部分に分解することで分類する。まず、エタール群コアに対する非可換 Čech コホロロジーを用いた新しいコホロロジー理論において、エタール群コアの拡張を分類する。第二に、完全な横断から全多様体への拡張の持ち上げに対するコホロロジー的障害を提供する。障害が消えるとき、すべてのグローバル拡張の集合は、核バンドルの下でのビトールサー群上に主 bundle として形成される。

ABSTRACT

We observe that any regular Lie groupoid G over an manifold M fits
 into an extension K → G → E of a foliation groupoid E by a bundle of
 connected Lie groups K. If F is the foliation on M given by the orbits
 of E and T is a complete transversal to F, this extension restricts to T ,
 as an extension KT → GT → ET of an ´etale groupoid ET by a bundle of
 connected groups KT . We break up the classification into two parts. On
 the one hand, we classify the latter extensions of ´etale groupoids by (nonabelian)
 cohomology classes in a new ˇCech cohomology of ´etale groupoids.
 On the other hand, given K and E and an extension KT → GT → ET over
 T , we present a cohomological obstruction to the problem of whether this
 is the restriction of an extension K → G → E over M; if this obstruction
 vanishes, all extensions K → G → E over M which restrict to a given
 extension over the transversal together form a principal bundle over a
 “group” of bitorsors under K.We observe that any regular Lie groupoid G over an manifold M fits
 into an extension K → G → E of a foliation groupoid E by a bundle of
 connected Lie groups K. If F is the foliation on M given by the orbits
 of E and T is a complete transversal to F, this extension restricts to T ,
 as an extension KT → GT → ET of an ´etale groupoid ET by a bundle of
 connected groups KT . We break up the classification into two parts. On
 the one hand, we classify the latter extensions of ´etale groupoids by (nonabelian)
 cohomology classes in a new ˇCech cohomology of ´etale groupoids.
 On the other hand, given K and E and an extension KT → GT → ET over
 T , we present a cohomological obstruction to the problem of whether this
 is the restriction of an extension K → G → E over M; if this obstruction
 vanishes, all extensions K → G → E over M which restrict to a given
 extension over the transversal together form a principal bundle over a
 “group” of bitorsors under K.

研究の動機と目的

• フォリエーション群コアと連結リー群のバンドルを含む拡張による構造の分解を通じて、正則なリー群コアを分類すること。
• 完全な横断上での拡張を分類するための、エタール群コアに対する新しい非可換 Čech コホロロジー理論を構築すること。
• 与えられた横断上での拡張が全多様体上でのグローバル拡張に持ち上げられるかどうかを特定するコホロロジー的障害を提供すること。
• 障害が消える場合、すべてのグローバル拡張のモジュライ空間を、核バンドル K の下でのビトールサー群の群上に主 bundle として記述すること。

提案手法

• 多様体 M 上の正則なリー群コア G を、E がフォリエーション群コアで K が連結リー群のバンドルである拡張 K → G → E に分解する。
• E が M 上に誘導するフォリエーション F に対する完全な横断 T を特定し、分類問題を T 上に還元する。
• エタール群コアに対する新しい非可換 Čech コホロロジー理論を用いて、T 上での拡張 KT → GT → ET を分類する。
• 与えられた T 上の拡張が M 上の拡張に持ち上がるかどうかを特定する、このコホロロジー理論におけるコホロロジー的障害を構成する。
• 障害が消えるとき、すべてのこのようなグローバル拡張の空間を、K の下でのビトールサー群の群上に主 bundle として記述する。
• ビトールサー群の構造と群作用を用いて、障害が消える条件の下での拡張の集合をパrametrizeする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則なリー群コアは、その構造的拡張を通じてどのように体系的に分類可能か？
• RQ2 エタール群コアの拡張を、連結リー群のバンドルによって分類するコホロロジー的不変量は何か？
• RQ3 完全な横断上での拡張が、いつ全多様体上に持ち上げられるか？
• RQ4 持ち上げ障害が消えるとき、すべてのグローバル拡張の空間の幾何的構造は何か？
• RQ5 核バンドル K の下でのビトールサー群は、どのようにしてこのようなグローバル拡張の集合をパrametrizeするか？

主な発見

• 正則なリー群コアの分類は、新しい非可換 Čech コホロロジー理論を用いたエタール群コアの拡張の分類に還元される。
• 完全な横断 T 上での拡張は、この新しい理論におけるコホロロジー類によって分類され、局所的分類のメカニズムを提供する。
• 同じコホロロジー理論におけるコホロロジー的障害が、横断上での拡張が全多様体上に持ち上がるかどうかを決定する。
• 障害が消えるとき、与えられた横断上での拡張に一致するすべてのグローバル拡張の集合は、K の下でのビトールサー群の群上に主 bundle として形成される。
• このようなグローバル拡張のモジュライ空間は、ビトールサー群の群の下でトーラスとして構造化されており、対称性と分類データを反映している。
• この枠組みは、横断的還元とコホロロジー的持ち上げを通じて、正則なリー群コアの完全な障害理論的かつ分類的メカニズムを確立する。