[論文レビュー] On the Complexity of Isomorphism Problems Related to Polytopes

Volker Kaibel, Alexander Schwartz|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2001

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、凸多面体間の組合せ的同型を決定することが、単純多面体や単体的多面体に対しても、グラフ同型問題完全であることを確立している。しかし、次元が有界な場合に、ルクスの有界次数グラフの同型問題に対するアルゴリズムを用いて、多面体同型問題を多項式時間で解けるアルゴリズムを提示している。

ABSTRACT

We show that the problem to decide whether two (convex) polytopes are combinatorially isomorphic is graph isomorphism complete, even for simple or simplicial polytopes. On the other hand, we give a polynomial time algorithm for the polytope isomorphism problem in bounded dimension, which is based on Luks' algorithm for the isomorphism problem of graphs of bounded maximal degree.

研究の動機と目的

• 凸多面体間の組合せ的同型を決定する計算複雑性を特定すること。
• 単純多面体や単体的多面体などの特殊クラスにおいて、同型問題が依然として難しいかどうかを調査すること。
• 次元が有界な場合に、多面体同型問題を効率的に解くアルゴリズムを開発すること。
• 構造化された設定における多面体同型問題とグラフ同型問題の関係を確立すること。

提案手法

• 組合せ的構造の符号化を通じて、多面体同型問題をグラフ同型問題に還元する。
• 問題がGIに属し、かつGI困難であることを示すことにより、それがグラフ同型問題完全であることを証明する。
• 有界次数グラフの同型問題に対するルクスのアルゴリズムを多面体の場合に適用する。
• 次元の有界性を活用して、関連するグラフの最大次数を制限し、多項式時間計算を可能にする。
• 多面体の面格子構造を用いて、同型制約をグラフ論的用語に変換する。
• 次元に依存する頂点次数の上限を用いて、ルクスのアルゴリズムの効率性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸多面体の組合せ的同型問題は計算的に難しいか？
• RQ2 単純多面体や単体的多面体などの特殊な多面体クラスに対しても、複雑性は依然として高いか？
• RQ3 次元が有界な場合に、同型問題を効率的に解くことができるか？
• RQ4 構造化された設定における多面体同型問題とグラフ同型問題の関係は何か？
• RQ5 ルクスの有界次数グラフ同型問題アルゴリズムを多面体同型問題に適応できるか？

主な発見

• 凸多面体間の組合せ的同型を決定する問題は、グラフ同型問題完全である。
• この難易度の結果は、単純多面体や単体的多面体に制限しても成立する。
• 次元が有界な場合に、多面体同型問題を多項式時間で解けるアルゴリズムが存在する。
• アルゴリズムは、最大次数が有界なグラフに多面体構造を符号化することに依存している。
• 次元の上限により、関連するグラフの次数が有界になることが保証され、ルクスのアルゴリズムの適用が可能になる。
• グラフ同型問題への還元は正しく、かつタイトであるため、GI複雑度クラスにおける完全性が確立される。