[論文レビュー] On the construction of a triangle from the feet of its angle bisectors

Alexey V. Ustinov|ArXiv.org|Oct 6, 2009

Advanced Theoretical and Applied Studies in Material Sciences and Geometry参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、重心座標と代数幾何学を用いて、三角形の内角の二等分線の足からその三角形を構成することを検討する。一般に、内心の位置を規定する不可約3次方程式が存在するため、コンパスと定木を用いた作図は不可能であることが示され、これは古典的手法では解けないが、代数的には解が存在する。

ABSTRACT

We study the problem of construction of a triangle from the feet of its internal angle bisectors. It is proved that in general case ruler-and-compass solution of this problem is impossible.

研究の動機と目的

• コンパスと定木を用いた古典的作図ツールによって、三角形の内角の二等分線の足からその三角形を再構成できるかどうかを特定すること。
• 重心座標における内心の座標に注目し、そのような三角形が存在する代数的条件を分析すること。
• 作図可能数の文脈において、得られる方程式系の可解性を調査すること。
• 導出された3次方程式における内心と傍心の解を区別すること。
• 代数的可解性と幾何的作図可能性の理論的境界を、三角形再構成問題の文脈で確立すること。

提案手法

• 参考三角形 $ABC$ に対する内心座標 $(x:y:z)$ を用いて、目的の三角形 $A'B'C'$ の頂点を重心座標で表現する。
• 辺長 $a$, $b$, $c$ と内心の重心座標 $x$, $y$, $z$ を関連付ける3つの対称方程式の系を導出する。
• 最初の2つの式から導かれる比 $t = z/(3y)$ に関する1つの不可約3次方程式に、この系を簡約する。
• 方程式 $t^3 + 74t^2 + 259t - 570 = 0$ の根を分析し、どの根が内心に対応し、どの根が傍心に対応するかを特定する。
• 古典的体論（ガロア理論）を適用し、実数の正の根 $t_1 \approx 1.52$ がコンパスと定木では作図できないことを結論づける。
• 3次方程式が有理数上において不可約であり、そのガロア群が非可解であることに着目し、作図不能性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内角の二等分線の足が与えられた場合、コンパスと定木のみを用いて三角形を作図することは可能か？
• RQ2 参考三角形の辺長に対して、内心の重心座標が満たすべき代数的条件は何か？
• RQ3 導出された3次方程式の根は、潜在的解三角形の内心および傍心とどのように関係するか？
• RQ4 なぜ三角形再構成問題の解は代数的には可解であるが、古典的ツールでは幾何的に不可能なのか？
• RQ5 3次方程式の不可約性が、角の二等分線の足から三角形を構成する作図可能性を決定づける役割を果たす理由は何か？

主な発見

• 内角の二等分線の足からコンパスと定木のみを用いて三角形を構成することは、一般に不可能である。
• 目的の三角形の内心座標は、角の二等分線と辺長の幾何学的性質から導かれる対称方程式系を満たす。
• 特定のケース $a=2$, $b=3$, $c=\sqrt{7}$ において、この系は不可約3次方程式 $t^3 + 74t^2 + 259t - 570 = 0$ に簡約される。
• 3つの実数解のうち、$t_1 \approx 1.52$ のみが有効な三角形の内心に対応し、他の2つは異なる三角形の傍心に対応する。
• 根 $t_1$ は、3次方程式が不可約であり、ガロア群が非可解であるため、コンパスと定木では作図できない。
• したがって、代数的には解が存在するが、古典的制約下では幾何的作図は不可能である。