[論文レビュー] On the continuity of lyapunov exponents of random walks in random potentials

Thị Thu Hiền Lê|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$d \geq 3$ における $\mathbb{Z}^d$ 上の i.i.d. 非負の確率的ポテンシャルにおける単純な無向ランダムウォークについて、ポテンシャル分布の弱収束に関して、クエンチドおよびアンネールドのリャプノフ指数の連続性を確立する。確率的カップリングとパス測度の条件付き確率を用いて、ポテンシャル分布が弱収束するにつれてリャプノフ指数が収束することを証明し、第一到達時確率論における連続性結果を、確率的ポテンシャル内でのランダムウォークへと拡張する。

ABSTRACT

We consider a simple random walk in an i.i.d. non-negative potential on the d-dimensional integer lattice, $d\geq 3$. We study the quenched Lyapunov exponents, and present a probabilistic proof of its continuity when the potentials converge in distribution.

研究の動機と目的

• 確率的ポテンシャルの分布に関して、クエンチドおよびアンネールドのリャプノフ指数の連続性を確立すること。
• 第一到達時確率論において知られている連続性結果を、確率的ポテンシャル内でのランダムウォークの文脈へと拡張すること。
• クエンチドおよびアンネールドのパス測度における走破的挙動を分析し、リャプノフ指数の極限を制御すること。
• 解析的またはスペクトル的手法を避けて、カップリングおよびモーメント推定を用いた確率的証明により連続性を示すこと。

提案手法

• クエンチドおよびアンネールドのパス測度 $\hat{P}_{x,\omega}^y$ および $\hat{\mathbb{P}}_x^y$ を用い、対数モーメント生成関数を通じてリャプノフ指数を定義する。
• ジェンセンの不等式およびモーメントバウンドを適用し、対数期待値 $a(x,y,\omega)$ および $b(x,y)$ を制御する。
• 元のポテンシャル分布の収束を制御するため、切り捨てられたポテンシャル $^tF$ および $^t\hat{F}$ を導入する。
• カップリングの議論を用いて $\beta_{F_n}$ と $\beta_{^tF_n}$ を比較し、$\mathbb{E}[\exp(-U_t(0))] \to 1$ ($t \to \infty$) であることに依存する。
• 形状定理およびモーメント推定を用いて、$\mathbb{\hat{E}}_{0,^tF}^{nx}(H(nx))$ を $b(0,nx,^tF)$ の項でバウンドする。
• ポテンシャルのストキャスティックオーダーの下で $\beta_F$ および $\alpha_F$ の単調性を用い、極限をはさみ込み、収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 i.i.d. ポテンシャルの分布 $F$ に関して、クエンチドのリャプノフ指数 $\alpha_F(x)$ は連続的に依存するか？
• RQ2 ポテンシャル分布の弱収束に関して、アンネールドのリャプノフ指数 $\beta_F(x)$ は連続的に変化するか？
• RQ3 スペクトル的手法を避けて、パス測度のカップリングおよびモーメント推定を用いて、リャプノフ指数の連続性を確立できるか？
• RQ4 弱収束 $F_n \to F$ の下で、$\beta_{F_n}$ の収束を制御するために、切り捨てとカップリングが果たす役割は何か？

主な発見

• クエンチドのリャプノフ指数 $\alpha_F(x)$ は、$F_n \to F$ が $\mathscr{D}_1$ 内で弱収束する限り、ポテンシャル分布の弱収束に関して連続である。
• アンネールドのリャプノフ指数 $\beta_F(x)$ は、$d \geq 3$ に対して弱収束 $F_n \to F$ に関して連続であり、$d=2$ においては $F(\lambda) = 0$ を満たす $\lambda > 0$ が存在するという追加仮定のもとでも連続である。
• 任意の $x \in \mathbb{Z}^d$ に対して、$F_n \to F$ が弱収束し、かつ $F_n$ が有限平均を持つ分布により一様に下から有界である限り、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} b(0,nx, F_n) = \beta_F(x)$ が成り立つ。
• 証明は、$t \to \infty$ のとき $\beta_{^tF_n} \to \beta_F$ となるような切り捨てられたポテンシャル $^tF_n$ の列を構成することに依存し、$\mathbb{E}[\exp(-U_t(0))] \to 1$ であることに着目する。
• 重要な不等式 $\mathbb{\hat{E}}_{0,^tF}^{nx}(H(nx)) \leq \frac{D}{-\ln \mathbb{E}[\exp(-W_t(0))]} b(0,nx,^tF)$ は、条件付き測度下での到達時間の制御を可能にする。
• 最終的な結果 $\liminf_{n \to \infty} \beta_{F_n} \geq \beta_F$ は、$t \to \infty$ とし、単調性およびはさみうちの議論を用いて確立される。