[論文レビュー] On the Convergence of Optimal Measures

Thomas Bloom, Len Bos+2 more|ArXiv.org|Aug 6, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、重み付き複素多変数正則関数論における、非多様的コンパクト集合 $K \subset \mathbb{C}^d$ と適切な重み $w = e^{-\phi}$ を持つ場合、最適測度（$K$ 上の確率測度で、最大のクリスティオフェル関数を最小化するもの）の弱-*収束を、均衡測度 $\mu_{K,\phi}$ に示した。BermanとBoucksomのエネルギー関数に関する結果とRumelyの公式を用いて、次数 $n \to \infty$ のとき、最適測度の列が均衡測度に収束することを証明した。これは、Fekete点やLeja列に対する既知の収束結果を、クリスティオフェル関数の極値最小化により定義されるより広いクラスの最適測度に拡張するものである。

ABSTRACT

Using recent results of Berman and Boucksom we show that for a non-pluripolar compact set K in C^d and an admissible weight function w=e^{-ϕ} any sequence of so-called optimal measures converges weak-* to the equilibrium measure μ_{K,ϕ} of (weighted) Pluripotential Theory for K,ϕ.

研究の動機と目的

• 非多様的コンパクト集合 $K \subset \mathbb{C}^d$ における重み付き複素多変数正則関数論において、最適測度が均衡測度 $\mu_{K,\phi}$ に弱-*収束することを確立すること。
• Fekete点やLeja列に対する既知の収束結果を、クリスティオフェル関数の極値最小化により定義されるより広いクラスの最適測度に拡張すること。
• 複素多変数正則関数論的道具を用いて、最適測度、Gram行列の行列式最大化、均衡測度の間の統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 次数 $n$ の最適測度を、$K$ 上の確率測度で、$\sqrt{K_n^\mu(z)}$ の最大値を最小化するものとして定義する。ここで $K_n^\mu(z)$ は、全次数 $\leq n$ の正則多項式に対する再生核の対角成分である。
• 固定された $\mathcal{P}_n$ の基底に対して、最大クリスティオフェル関数の最小化と、Gram行列の行列式の最大化の同値性を、$G_n^\mu = V_n^\mu (V_n^\mu)^*$ の因数分解により利用する。
• 混合エネルギー $\mathcal{E}(V_{K,\phi}^*, V_T)$ を用いて、非多様的コンパクト集合 $K$ の極限直径 $\delta^w(K)$ を表すRumelyの公式を適用し、重み摂動に関するエネルギーの微分公式（BermanとBoucksomの結果）を用いる。
• 重み $w_t = w \exp(-t u)$ の一パrameter族を導入し、$f_n(t) = -\frac{1}{2m_n} \log \det G_n^{\mu_n, w_t}$ を分析する。$\liminf_{n \to \infty} f_n(t) \geq -\log \delta^{w_t}(K)$ を示す。
• BermanとBoucksomの[BB2]の補題3.2を用いて、$\lim_{n \to \infty} f_n'(0) = g'(0)$ を結論づける。ここで $g(t) = -\log \delta^{w_t}(K)$ である。これにより、テスト関数に関する積分の収束から測度の収束が得られる。
• 弱-*収束 $\mu_n \to \mu_{K,\phi}$ を、任意の連続関数 $u$ に対して $\int_K u \, d\mu_n \to \int_K u \, d\mu_{K,\phi}$ が成り立つことにより結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非多様的コンパクト集合 $K \subset \mathbb{C}^d$ と適切な重み $w = e^{-\phi}$ を持つ場合、次数 $n \to \infty$ のとき、最適測度の列は弱-*収束して均衡測度 $\mu_{K,\phi}$ に収束するか？
• RQ2 特にBerman-Boucksomの微分公式を用いて、複素多変数正則関数論におけるエネルギー関数の微分を用いて、最適測度の収束を確立できるか？
• RQ3 重み付き $L^2$-空間における多項式基底の下で、最大クリスティオフェル関数の最小化と、Gram行列の行列式の最大化とはどのように関係するか？
• RQ4 最適測度の弱-*収束は、多項式補間におけるFekete点やLeja列の既知の収束結果の一般化であるか？

主な発見

• 重み $w = e^{-\phi}$ とコンパクト集合 $K$ に対して、最適測度 $\mu_n$ の列は $n \to \infty$ のとき弱-*収束して均衡測度 $\mu_{K,\phi}$ に収束する。これは重み付き複素多変数正則関数論における基本的な収束結果を確立する。
• 最適測度は、クリスティオフェル関数の最大値が $N = \binom{d+n}{n}$ に等しくなるという性質を持つ。これは、最大クリスティオフェル関数の最小可能な値である。
• 任意の固定された $\mathcal{P}_n$ の基底 $B_n$ に対して、最適測度は $K$ 上のすべての確率測度において、Gram行列 $G_n^\mu(B_n)$ の行列式を最大化する。これにより、近似理論と直交多項式における極値問題が結びつけられる。
• 収束は、重み摂動に関する極限直径 $\delta^{w_t}(K)$ の微分を用いて証明された。Rumelyの公式とBerman-Boucksomの微分恒等式を用いた。
• 弱-*収束は、$f_n(t)$ の対数行列式関数の $t=0$ における微分の収束、すなわちエネルギー関数 $g(t)$ の微分と一致することにより得られる。これは[BB2]の補題3.2から導かれる。
• 本結果は、Fekete点やLeja列に対する既知の収束結果を、より広いクラスの最適測度に一般化しており、このような測度が均衡測度 $\mu_{K,\phi}$ に関して漸近的に一様分布していることを示している。