[論文レビュー] Growth of balls of holomorphic sections and energy at equilibrium

Robert J. Berman, Sébastien Boucksom|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 57被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、大きな線束の高次のテンソル冪の正則切断空間におけるノルム単位球の体積増大と、均衡状態におけるモンジュ＝アンペールエネルギー関数への明確な漸近的関係を確立する。このエネルギー関数の微分可能性を証明し、それを用いてルメールの非有界直径に関するロビン型公式を回復・拡張するとともに、解析的 torsion の漸近公式を導出し、ユアンの小点に関する等分布定理を大きな線束へ一般化する。

ABSTRACT

Let X be a compact complex manifold endowed with a big line bundle L. We define the energy at equilibrium of a weighted subset as the Monge-Ampere energy of the associated extremal plurisubharmonic weight. We prove the differentiability of the energy at equilibrium with respect to the weight, and show that this energy describes the asymptotic behaviour as k goes to infinity of the volume of the induced sup-norm unit ball in the space of global sections of kL. As a consequence of these results, we extend Rumely's Robin-type formula for the transfinite diameter. We also obtain an asymptotic description of the analytic torsion and extend Yuan's equidistribution theorem for algebraic points of small height to the case of a big line bundle.

研究の動機と目的

• 大きな線束の高次のテンソル冪の正則切断空間におけるノルム単位球の漸近的体積増大を理解すること。
• 重み付きコンパクト集合 (K, φ) における均衡状態のエネルギーを定義・研究し、それをモンジュ＝アンペールエネルギー関数と結びつけること。
• 重み φ に関する均衡状態のエネルギーの微分可能性を証明すること。
• このエネルギー関数を用いて、ルメールの非有界直径に関するロビン型公式を回復・拡張すること。
• 解析的 torsion の漸近公式を導出し、小点に関するユアンの等分布定理をアーマブルな線束から大きな線束へ一般化すること。

提案手法

• 非特異的多重積を用いて、(K, φ) に関連する極値のpsh重みのモンジュ＝アンペールエネルギーとして均衡状態のエネルギーを定義する。
• 部分積分と混合モンジュ＝アンペール作用素の性質を用いて、φ に関するモンジュ＝アンペールエネルギー関数 E(φ) の微分可能性を確立する。
• ベルグマン歪度関数とベルグマンのマークフ・性質を用いて、正則切断空間上の L² と L∞ ノルムを関連付ける。
• ノルム単位球の体積のスケーリング極限を適用し、対数体積増大と E(φ) を結ぶ公式を通じて、その漸近的増大をエネルギー関数と結びつける。
• 実体積と複素体積の双対性を活用し、スターリングの公式を用いて実体積増大と複素体積増大の比を制御する。
• 高さ関数の漸近的挙動を解析し、凹関数の変分原理と極限導関数条件を用いて、小点の等分布を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k → ∞ のとき、H⁰(X, kL) におけるノルム単位球の体積はどのように漸近的に増大するか？
• RQ2 この体積増大と均衡状態におけるモンジュ＝アンペールエネルギー関数の正確な関係は何か？
• RQ3 重み φ に関する均衡状態のエネルギーが微分可能であることを示せるか？
• RQ4 均衡状態のエネルギーが、非有界直径に関するルメールのロビン型公式をどのように回復・拡張するか？
• RQ5 このエネルギー枠組みを用いて、小点に関するユアンの等分布定理をアーマブル線束から大きな線束へ一般化できるか？

主な発見

• H⁰(X, kL) におけるノルム単位球の漸近的対数体積増大は、均衡状態のエネルギーで与えられる：limₖ→∞ (1/kNₖ) log volₖℬ∞(kφ) = ℰ_eq(φ)。
• 均衡状態のエネルギーは φ に関して微分可能であり、その微分は (φ₂ − φ₁) を MA(φ₁) に対して積分することで与えられる。
• エネルギー関数 ℰ(φ) は、psh 重みが最小特異性を持つ場合に限り、公式 ℰ(φ) − ℰ(ψ) = 1/(n+1) ∑ⱼ₌₀ⁿ ∫ₓ (φ−ψ)(ddᶜφ)ʲ ∧ (ddᶜψ)ⁿ⁻ʲ で定義される。
• コンパクト非特異的集合 K の非有界直径は、公式 limₖ→∞ (1/k) log Dₖ(K) = −ℰ_eq(φ) を用いて回復される。ここで Dₖ(K) は k 階非有界直径である。
• 線束 L の解析的 torsion が均衡状態のエネルギーと関連する漸近展開を示す。
• 張の意味における小点の等分布を大きな線束へ一般化する：小点のガロア軌道は、(K, φ) に関連する均衡状態のカレントに等分布する。