[論文レビュー] On the critical branching random walk II: Branching capacity and branching recurrence

Qingsan Zhu|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$\pi^{d}$ ($d \geq 5$) 上の臨界分岐ランダムウォークに対して、分岐再帰性と分岐非再帰性を導入し、分岐容量を用いたウィエンァー型判定法を確立する。集合 $K$ が分岐再帰的であるための必要十分条件は、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\text{BCap}(K_n)}{2^{n(d-4)}} = \infty$ であることが示され、古典的な再帰基準を分岐過程へと拡張する。また、$\mathbb{Z}^d$ ($d \leq 4$) において、始発無限分岐ランダムウォークがほとんど確実にすべての頂点を無限回訪問することを示す。

ABSTRACT

We continue our study of critical branching random walk and branching capacity. In this paper we introduce branching recurrence and branching transience and prove an analogous version of Wiener's Test.

研究の動機と目的

• 臨界分岐ランダムウォークの $\\mathbb{Z}^d$ ($d \geq 5$) における分岐再帰性と非再帰性を、始発無限分岐ランダムウォーク（生存を条件付きで）を用いて定義し、特徴づけること。
• 古典的な単純ランダムウォークのウィエンァーのテストに類似した、分岐再帰性の新しいバージョンのウィエンァーのテストを確立すること。
• 分岐再帰性が子供の分布と遷移分布に依存するかどうかを調査すること。
• 低次元 ($d \leq 4$) における既知の再帰結果を、分岐過程の文脈へと拡張すること。

提案手法

• 先行研究 [6] からのポテンシャル論的手法を用いて、$\mathbb{Z}^d$ の有限部分集合 $K$ に対して分岐容量 $\text{BCap}(K)$ を定義する。
• 古典的なウィエンァーのテストが正規化されたポテンシャル測度を用いるのと同様に、生存を条件付けた始発無限分岐ランダムウォークを用いて分岐再帰性を定義する。
• ウィエンァー型テストを確立：$K$ が分岐再帰的であることと、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\text{BCap}(K_n)}{2^{n(d-4)}} = \infty$ が同値であること。ここで $K_n = \{a \in K : 2^n \leq |a| < 2^{n+1}\}$ である。
• 特に $m \geq d-3$ のとき $\text{BCap}(B^m(r)) \asymp r^{d-4}$ であるような $\mathbb{Z}^d$ 内の球に対する分岐容量の推定値を用いて、部分空間における再帰性を分析する。
• 比較技法とグリーン関数の推定値を用いて、複数の集合への訪問確率を評価し、分岐容量の単調性およびスケーリング特性を活用する。
• 分岐再帰性が、3次モーメントが有限な非退化臨界子供分布に依存しないことを証明する。これは、このような $\mu$ の間で分岐容量が比較可能であることにより支えられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界分岐ランダムウォークにおける古典的再帰／非再帰性の正しい類似物は何か？
• RQ2 分岐容量を用いて、分岐再帰性のためのウィエンァー型テストをどのように定式化できるか？
• RQ3 $\mathbb{Z}^d$ ($d \leq 4$) における始発無限分岐ランダムウォークは、ほとんど確実にすべての頂点を無限回訪問するか？
• RQ4 分岐再帰性の性質は、3次モーメントが有限な子供分布の選択に依存するか？
• RQ5 分岐容量のスケーリングが、低次元部分空間における再帰性にどのように影響するか？

主な発見

• 分岐再帰性の新しいウィエンァー型テストが確立された：$K$ が分岐再帰的であることと、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\text{BCap}(K_n)}{2^{n(d-4)}} = \infty$ が同値である。
• $d \leq 4$ の場合、$\mathbb{Z}^d$ における始発無限分岐ランダムウォークは、ほとんど確実にすべての頂点を無限回訪問する。これは [2] における結果を一般化する。
• $i \leq 4$ の $\mathbb{Z}^i$-部分空間は、$\text{BCap}(B^{d-i}(r))$ の漸近的挙動と主定理により、分岐再帰的である。
• 分岐再帰性は子供分布に依存しない：ある非退化臨界 $\mu$（3次モーメントが有限）に対して $K$ が分岐再帰的であれば、すべての such $\mu$ に対して同様に分岐再帰的である。
• 球 $B^m(r)$ の分岐容量は、$m \geq d-3$ のとき $\text{BCap}(B^m(r)) \asymp r^{d-4}$、$m = d-4$ のとき $r^{d-4}/\log r$、$m \leq d-5$ のとき $r^m$ である。この性質が再帰結果の根拠となる。
• 証明は、$z$ から出発する分岐ランダムウォークが集合 $A$ と $B$ の両方を訪問する確率を推定することに依存し、グリーン関数と $\mathbf{p}_A(z)$、$\mathbf{q}_B(z)$ の評価を用いる。その結果、$\sum_z G_{A\cup B}(0,z) P(\mathcal{S}_z \text{ が } A \& B \text{ の両方を訪問する}) \preceq \mathbf{q}_A(0)\mathbf{q}_B(0)$ という重要な不等式が得られる。