[論文レビュー] On the Curling Number of Certain Graphs

Johan Kok, Sudev Naduvath+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、次数列における最大部分列の分析を通じて、グラフのカールィング数およびコン pound カールィング数を導入し、連結単純グラフにおいてカールィング数予想が成り立つことを証明するとともに、集合グラフおよびジャコ・グラフについて正確な公式を導出している。主な結果として、集合グラフのカールィング数は $\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$ であり、そのコンパound カールィング数は $\prod_{i=1}^n \binom{n}{i}$ である。これは $n$ が奇数である場合に限り完全平方数である。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the concept of curling subsequence of simple, finite and connected graphs. A curling subsequence is a maximal subsequence $C$ of the degree sequence of a simple connected graph $G$ for which the curling number $cn(G)$ corresponds to the curling number of the degree sequence per se and hence we call it the curling number of the graph $G$. A maximal degree subsequence with equal entries is called an identity subsequence. The number of identity curling subsequences in a simple connected graph $G$ is denoted $ic(G).$ We show that the curling number conjecture holds for the degree sequence of a simple connected graph $G$ on $n \geq 1$ vertices. We also introduce the notion of the compound curling number of a simple connected graph $G$ and then initiate a study on the curling number of certain standard graphs like Jaco graphs and set-graphs.

研究の動機と目的

• 単純有限連結グラフの次数列へ、整数列におけるカールィング数の概念を拡張すること。
• カールィング部分列、カールィング数、同一性カールィング部分列、カールィングインデックス、およびコンパound カールィング数という新しいグラフパラメータを定義し、それらを分析すること。
• グラフの次数列の文脈において、カールィング数予想の妥当性を調査すること。
• 特に集合グラフおよびジャコ・グラフを含む標準的グラフ族について、カールィング数およびコンパound カールィング数を特定すること。
• 特に集合グラフについて、これらの新しいグラフパラメータの数論的性質を調査すること。

提案手法

• 最大のカールィング数を持つ部分列として、カールィング部分列を定義する。
• グラフのカールィング数を、そのカールィング部分列のカールィング数として定義する。
• 異なる次数の各々の重複度の積として、コンパound カールィング数を定義する。
• 特に、同じ部分集合の基数を持つ頂点が同じ次数を持つという対称性を活用することで、集合グラフの次数列の組み合わせ的解析を行う。
• 双子係数およびハイパーファクターリアルに関する既知の結果を応用し、コンパound カールィング数の閉形式表現を導出する。
• 恒等式 $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ を用いて、コンパound カールィング数の平方性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限単純連結グラフの次数列について、カールィング数予想は成り立つか？
• RQ2 サイズ $n$ の有限集合 $A^{(n)}$ に対して、集合グラフ $G_{A^{(n)}}$ のカールィング数は何か？
• RQ3 集合グラフのコンパound カールィング数は何か？また、それはいつ完全平方数となるか？
• RQ4 カールィング数とコンパound カールィング数が等しい非正則グラフは存在するか？もしあるならば、それらはどのように特徴づけられるか？
• RQ5 スパニング部分グラフのカールィング数およびコンパound カールィング数は、元の正則グラフのそれらと比べてどうなるか？

主な発見

• 任意の $n \geq 1$ 頂点をもつ単純有限連結グラフ $G$ の次数列について、カールィング数予想が成り立つ。
• 集合グラフ $G_{A^{(n)}}$ のカールィング数は $\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$ であり、これは $n$ に対する最大の二項係数である。
• 集合グラフ $G_{A^{(n)}}$ のコンパound カールィング数は $\prod_{i=1}^n \binom{n}{i}$ であり、これは $\frac{1}{(n!)^{n+1}} \left( \prod_{i=1}^n i^i \right)^2 - 1$ に等しい。
• 集合グラフのコンパound カールィング数は、$n$ が奇数整数である場合に限り完全平方数である。
• グラフ $G$ におけるカールィング部分列の数は、$ic(G) = 1$ のとき $1$ であり、それ以外の場合は $ic(G) + ic(G)!$ である。
• 次数列 $(3,5,3,3,5,5,6)$ の場合、カールィング数は $3$ であり、$(3,3,3)$ や $(5,5,5)$、$(3,5,3,5,3,5)$、$(5,3,5,3,5,3)$ などの部分列によって達成される。