[論文レビュー] On the density of exponential functionals of Lévy processes

Juan Carlos Pardo, Víctor Rivero+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$ \xi $ がサブオルダの負であり、$ \mathbf{e}_q $ がレート $ q \geq 0 $ の独立な指数確率変数であるとき、指数的関数的積分 $ I_{\mathbf{e}_q} = \int_0^{\mathbf{e}_q} e^{\xi_s} \, ds $ の密度に関する積分方程式を確立する。主な貢献は、$ q > 0 $ の場合にカルモナらの結果を一般化した積分方程式の導出であり、$ q = 0 $ で $ \xi $ がサブオルダのときの 0 における密度の明示的漸近的挙動、および $ \xi $ がスプライタルリー正のレヴィ過程で $ \infty $ へと漂移する場合の $ \infty $ における密度の漸近的挙動を特定している。

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of the density associated to the exponential functional of the Lévy process $ξ$, \[ I_{\ee_q}:=\int_0^{\ee_q} e^{ξ_s} \, \mathrm{d}s, \] where $\ee_q$ is an independent exponential r.v. with parameter $q\geq 0$. In the case when $ξ$ is the negative of a subordinator, we prove that the density of $I_{\ee_q}$, here denoted by $k$, satisfies an integral equation that generalizes the one found by Carmona et al. \cite{Carmona97}. Finally when $q=0$, we describe explicitly the asymptotic behaviour at 0 of the density $k$ when $ξ$ is the negative of a subordinator and at $\infty$ when $ξ$ is a spectrally positive Lévy process that drifts to $+\infty$.

研究の動機と目的

• 指数的関数的積分 $ I_{\mathbf{e}_q} = \int_0^{\mathbf{e}_q} e^{\xi_s} \, ds $ の密度の存在と性質を研究すること。ここで $ \xi $ はレヴィ過程であり、$ \mathbf{e}_q $ はレート $ q \geq 0 $ の独立な指数時間である。
• これまで $ q > 0 $ の場合に密度の存在に関する先行研究が存在しなかったという知識の空白を埋めること。
• カルモナらが $ q = 0 $ の場合に確立した $ I_{\mathbf{e}_q} $ の密度に関する積分方程式を、$ \xi $ がサブオルダの負である場合に $ q > 0 $ へと一般化すること。
• $ \xi $ がサブオルダの負である場合の $ I $ の密度の 0 における漸近的挙動、および $ \xi $ がスプライタルリー正のレヴィ過程で $ +\infty $ へと漂移する場合の $ \infty $ における漸近的挙動を特定すること。
• 非一様グリッド離散化法を用いて密度およびその漸近的挙動の数値的図示を行うこと。

提案手法

• サブオルダの負である場合の $ I_{\mathbf{e}_q} $ の密度 $ k $ について、カルモナらの $ q = 0 $ 時の結果を $ q > 0 $ へと一般化した積分方程式を導出する。
• サブオルダのラプラス指数およびレヴィ測度を用いて、積分方程式をレヴィ測度の尾関数 $ \overline{\Pi}(x) = \Pi(x, \infty) $ の形で表現する。
• 密度 $ k $ の近似を実行するため、非一様グリッド $ x_n = (1/c) \Delta^{N-n} $ を用いた離散化スキームを実装し、等間隔グリッドよりも効率的であることを示す。
• 積分方程式を解くために反復法を用い、$ y_{N-1} $ から順に後退して $ y_i $ を求める。その後、全質量が 1 になるように正規化する。
• すべての数値計算（積分およびプロット含む）をオープンソースの SAGE コンピュータ代数システムを用いて実行する。
• 既知のケース（明示的な密度が得られるケース）に対して手法を検証し、数値近似 $ \tilde{k} $ と真の密度 $ k $ を比較する。また、漸近的精度を評価するために、$ \tilde{k}(x)/\overline{\Pi}(\log(1/x)) $ の比を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ q > 0 $ の場合、特に $ \xi $ がサブオルダの負である場合に、指数的関数的積分 $ I_{\mathbf{e}_q} $ の密度の存在と構造はどのようなものか？
• RQ2 $ q = 0 $ 時の結果から $ q > 0 $ へと $ I_{\mathbf{e}_q} $ の密度に関する積分方程式をどのように一般化できるか。その一般化された方程式の形は何か？
• RQ3 $ q = 0 $ で $ \xi $ がサブオルダの負である場合、$ I $ の密度が 0 においてどのように漸近的に振る舞うか。これはレヴィ測度の尾関数とどのように関係するか？
• RQ4 $ q = 0 $ で $ \xi $ がスプライタルリー正のレヴィ過程で $ +\infty $ へと漂移する場合、$ I $ の密度が $ \infty $ においてどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ5 提案された数値的手法は、特に 0 付近および $ \infty $ における正しい漸近的挙動を捉えられる程度にどれほど正確か？

主な発見

• 本稿は、$ \xi $ がサブオルダの負であり $ q > 0 $ の場合に、$ I_{\mathbf{e}_q} $ の密度 $ k $ に関する一般化された積分方程式を確立した。これはカルモナらの $ q = 0 $ 時の結果を $ q > 0 $ へと拡張したものである。
• $ q = 0 $ の場合、$ \xi $ がサブオルダの負であるとき、密度 $ k $ の 0 における漸近的挙動が明示的に記述されており、特定の条件下で密度が $ x^{\beta/a - 1} $ のように振る舞う。
• $ q = 0 $ の場合、$ \xi $ がスプライタルリー正のレヴィ過程で $ +\infty $ へと漂移するとき、密度 $ k $ の $ \infty $ における漸近的挙動が記述されており、ラプラス指数に依存するべき乗法則に従って密度が減少する。
• 非一様グリッド $ x_n = (1/c) \Delta^{N-n} $ を用いた数値的手法により、密度 $ k $ の高効率かつ高精度な近似が得られ、既知のケースにおける $ \tilde{k} $ と $ k $ の比較プロットから収束が確認された。
• 安定サブオルダ（$ c = 1 $、$ \Pi(dx) = x^{-1-a} dx $、$ a = 1/4 $）の場合、数値近似 $ \tilde{k} $ は理論的期待と整合するべき乗法則の減衰を 0 付近で正しく捉えている。
• 零のドリフトおよびレヴィ測度 $ \Pi(dx) = x^{-1/4} e^{-x^n} dx $ を持つサブオルダの場合、数値結果は密度 $ \tilde{k} $ の形状が $ n $ に依存することを示しており、$ n = 1, 2, 3 $ で明確に異なるプロファイルを示した。また、$ x $ が小さい場合に $ \tilde{k}(x)/\overline{\Pi}(\log(1/x)) $ の比が 1 に近づくことから、漸近的挙動が正しく再現されていることが確認された。