[論文レビュー] On the determination of a function from its cone transform with fixed central axis

Sunghwan Moon|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2015

Statistical and numerical algorithms参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、固定された中心軸をもつn次元の円錐変換を研究し、限られたデータにおける再構成のための2つの逆公式、安定性評価、一意性および再構成結果を導出する。本稿では、円錐変換が等長写像であることを確立し、関数の円錐積分からの明示的再構成法を提供する。応用分野としては、コンプトンカメラ画像法およびSPECTに該当する。

ABSTRACT

A Radon-type transform called a cone transform that assigns to a given function its integral over various sets of cones has arisen in the last decade in the context of the study of Compton cameras used in Single Photon Emission Computed Tomography. Here, we study the cone transform for which the central axis of the cones of integration is fixed. We present many of its properties, such as two inversion formulas, a stability estimate, and uniqueness and reconstruction for a local data problem.

研究の動機と目的

• n次元空間における固定中心軸をもつ円錐変換の数学的性質を調査すること。
• 関数の円錐変換データから関数を再構成するための逆公式を確立すること。
• 限られたデータ条件の下での再構成の安定性および一意性を分析すること。
• 奇数次元における円錐変換の像の条件を導出すること。
• シングルフォトン放出断層画像法（SPECT）におけるコンプトンカメラ画像法の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 平面に頂点を持つ固定中心軸をもつ円錐上での積分を用いて、n次元の円錐変換を形式化する。
• フーリエ解析および変換の径対称性の性質を用いて、2つの逆公式を導出する。
• 円錐変換と関数のフーリエ変換との関係を示すために、フーリエスライス定理の類似を適用する。
• 限られたデータ再構成を扱うために、射影作用素および逆フーリエ変換を用いる。
• ソボレフ空間の推定を導入し、適切な関数空間において円錐変換が等長写像であることを証明する。
• サポート定理を用いて、限られたデータ問題における一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的なデータ（|v|が限られた範囲）しか入手できない場合、関数は円錐変換から一意に再構成可能か？
• RQ2 n次元における固定中心軸をもつ円錐変換の逆公式は何か？
• RQ3 円錐変換データにおける微小な摂動に対して、再構成プロセスはどの程度安定しているか？
• RQ4 奇数次元空間における円錐変換の像の条件は何か？
• RQ5 等長写像および逆公式の観点から、円錐変換とラドン変換の関係は何か？

主な発見

• 固定中心軸をもつ円錐変換に対して2つの逆公式が導出され、元の関数がその円錐積分から正確に再構成可能であることが保証される。
• 適切な関数空間において、円錐変換が等長写像であることが示され、再構成における安定性が保証される。
• ソボレフ空間における安定性評価が確立され、データ摂動に対する再構成誤差が定量的に評価される。
• |v| ∈ (a,b) の範囲での局所的データ問題において、一意性および再構成が証明される。
• サポート定理およびフーリエ解析を用いて、奇数次元における円錐変換の像が特徴づけられる。
• 射影作用素および逆フーリエ変換を用いて、限られたデータの円錐変換が再構成可能であり、リーマン・ゼータ型作用素および完全な変換との明確な関係が確立される。