[論文レビュー] Dynamical Degrees, Arithmetic Degrees, and Canonical Heights for Dominant Rational Self-Maps of Projective Space

Joseph H. Silverman|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、射影空間の支配的有理自己写像に対して、古典的高さ理論を準同型写像を超えて一般化する正規高さ関数と算術的次数を導入する。モノミアル写像に対しては、点の軌道がザリスキ・イリュージブであるときかつそのときに限り、算術的次数が力学的次数に等しくなることを証明し、算術的次数が代数的整数として有限であることを確立する。

ABSTRACT

Let F : P^N --> P^N be a dominant rational map. The dynamical degree of F is the quantity d_F = lim (deg F^n)^(1/n). When F is defined over a number field, we define the arithmetic degree of an algebraic point P to be a_F(P) = limsup h(F^n(P))^(1/n) and the canonical height of P to be h_F(P) = limsup h(F^n(P))/n^k d_F^n for an appropriately chosen integer k = k_F. In this article we prove some elementary relations and make some deep conjectures relating d_F, a_F(P), and h_F(P). We prove our conjectures for monomial maps.

研究の動機と目的

• 射影空間の支配的有理自己写像に対して、古典理論を準同型写像を超えて拡張する正規高さ関数を定義すること。
• 点のWeil高さの反復写像における増加率を測る指標として、算術的次数を導入すること。
• 力学的次数、算術的次数、正規高さ、および軌道のザリスキ・イリュージブ性の関係を定式化し、証明すること。
• 算術的次数の集合が有限であり、代数的整数から構成されることを確立し、力学的次数に等しいのは、軌道がザリスキ・イリュージブである場合に限ることを示すこと。

提案手法

• n → ∞ のときの (deg φⁿ)¹ᐟⁿ の極限として力学的次数 δφ を定義する。
• P が不定性の局所を避ける領域に属する場合、h(φⁿ(P))¹ᐟⁿ の上極限として算術的次数 αφ(P) を定義する。
• ℓφ を成長率を安定化させるように選ぶことにより、正規高さ ĥφ(P) を limsup δφ⁻ⁿ n⁻ˡφ h(φⁿ(P)) として定義する。
• モノミアル写像に対して、正規高さが適切に定義されかつ有限であり、かつ αφ(P) = δφ が成り立つのは、P の軌道がザリスキ・イリュージブであるときかつそのときに限ることを証明する。
• Picard群への作用と φ* の固有値を用いて成長率を分析し、特定の状況での予想を証明する。
• Picard群が ℤ² に同型なK3表面 X ⊂ ℙ²×ℙ² における自己同型写像 φ = ι₁∘ι₂ の結果を応用し、準同型写像でない状況でも予想を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点の算術的次数が力学的次数に等しくなる条件は何か？
• RQ2 軌道が適切に定義されるすべての点に対する算術的次数の集合は、有限であり、代数的整数から構成されるか？
• RQ3 古典的準同型写像の場合を一般化する正規高さ関数を支配的有理写像に対して定義できるか？
• RQ4 正規高さ、算術的次数、および軌道のザリスキ・イリュージブ性の正確な関係は何か？
• RQ5 コホロロジーへの誘導写像の固有値は、高さおよび次数の成長とどのように関係するか？

主な発見

• モノミアル写像に対しては、算術的次数 αφ(P) が力学的次数 δφ に等しいのは、P の軌道が ℙᴺ においてザリスキ・イリュージブであるときかつそのときに限る。
• ℙᴺ(ℚ̄)φ に属する P に対する算術的次数 αφ(P) の集合は有限であり、代数的整数から構成される。
• NS(X) ≅ ℤ² である K3 表面 X ⊂ ℙ²×ℙ² において、自己同型写像 φ = ι₁∘ι₂ に対して δφ = 7 + 4√3 であり、αφ(P) = δφ が成り立つのは、P が周期的でないときかつそのときに限る。
• このような K3 表面自己同型写像に対しては、αφ(P) = 1 が成り立つのは、P が周期的である、すなわちその軌道がザリスキ・イリュージブでないときかつそのときに限る。
• モノミアル写像に対して正規高さ ĥφ(P) は適切に定義され、かつ有限であり、ĥφ(P) = 0 が成り立つのは、P が前周期的であるときかつそのときに限る。
• h(φⁿ(P)) の成長は δφⁿ に支配され、正規高さは δφ⁻ⁿ n⁻ˡφ で正規化されることで、有限極限に安定化する。