[論文レビュー] On the embedding complexity of Liouville manifolds

Sheel Ganatra, Kyler Siegel|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 51被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、線形化された接触ホモロジーとその $σ_{\infty}$-構造から導かれる新しいシンプレクティック不変量を導入し、リーマン多様体間の正確なシンプレクティック埋め込みを妨げるものとする。主な貢献は、仮想摂動を用いない擬複素曲線技術を用いて、複素射影空間内のノーマルクロスデバイザー補集合間の埋め込みを完全に特徴づけることにある。

ABSTRACT

We define a family of symplectic invariants which obstruct exact symplectic embeddings between Liouville manifolds, using the general formalism of linearized contact homology and its L-infinity structure. As our primary application, we investigate embeddings between normal crossing divisor complements in complex projective space, giving a complete characterization in many cases. Our main embedding results are deduced explicitly from pseudoholomorphic curves, without appealing to Hamiltonian or virtual perturbations.

研究の動機と目的

• リーマン多様体間の正確なシンプレクティック埋め込みを妨げるシンプレクティック不変量の開発。
• これらの不変量を、複素射影空間内のノーマルクロスデバイザー補集合間の埋め込みの分類に応用すること。
• 仮想的またはハミルトニアン的摂動に依存せずに、擬複素曲線を用いて明示的な妨害要因を提供すること。
• 滑らかな射影的多様体内の一般の除数補集合へと枠組みを拡張し、高 genus の曲線の類似物を検討すること。

提案手法

• 著者らは、線形化された接触ホモロジーの $σ_{\infty}$-構造を用いて不変量を定義し、シンプレクティック場理論（SFT）のモジュライ空間における形式的曲線とアンカーポイントに注目する。
• 埋め込みの妨害を曲線の数え上げの観点から捉えるために、簡略化された不変量 $\mathbb{G}\langle\mathcal{T}^{m}p\rangle$ を導入する。
• 頸部の引き伸ばしとSFTのコンパクトネスを用いて、リーマン多様体内の擬複素曲線の漸近的挙動を分析する。
• 標的空間における特定のグロモフ＝ウィッテン型不変量 $\mathrm{GW}_{M,A}\langle\mathcal{T}^{m}p\rangle$ の非消滅性から妨害要因を導出する。
• 仮想サイクル技術を避けるために、SFT枠組み内での正則的かつ単純な擬複素曲線に直接的に基づく。
• 余接 bundle の場合、不変量は有理ホモトピー論およびストリングトポロジーと関連し、幾何学的・位相的データを用いた計算が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変量 $\mathbb{G}\langle\mathcal{T}^{m}p\rangle$ は、$\mathbb{CP}^n$ 内の除数補集合間のリーマン埋め込みの非存在を検出できるか？
• RQ2 与えられた次元における、シンプレクティック的に異なったアフィン空間上での $\mathbb{G}\langle\mathcal{T}^{m}p\rangle$ が取り得る値は何か？
• RQ3 例えば、高genus のリーマン面の積のような、有理曲線を持たない多様体におけるリーマン埋め込みに対する非自明な妨害要因はあるか？
• RQ4 これらの不変量は、高次元のリーマンドメイン内に負の断面曲率を持つラグランジュ部分多様体が存在しないことを検出できるか？
• RQ5 これらの不変量は、退化やワインバーグコーボーダズムの下でどのように振る舞うか？

主な発見

• 不変量 $\mathbb{G}\langle\mathcal{T}^{m}p\rangle$ は、$\mathbb{CP}^n$ 内のノーマルクロスデバイザー補集合間のリーマン埋め込みに対して完全な妨害要因を提供し、SFTおよびグロモフ＝ウィッテン不変量による明示的計算が可能である。
• $P$ がブリースコーン多項式であるとき、$\mathbb{C}^n \setminus P^{-1}(0)$ に対して、すべての $m \geq 0$ に対して不変量 $\mathbb{G}\langle\mathcal{T}^{m}p\rangle$ は有限である。これは、より大きな空間への埋め込みに対する可能性のある妨害要因を示唆する。
• $M = \mathbb{CP}^1 \times \mathbb{CP}^1$ の場合、双次数 $(d,1)$ の曲線に対して $\mathrm{GW}_{M,A}\langle\mathcal{T}^{2d}p\rangle = 1 \neq 0$ であるため、明示的な妨害要因の計算が可能である。
• $\dim(Q) \geq 6$ の場合、もし $\mathbb{G}\langle\mathcal{T}^{m}p\rangle(D^*Q) < \infty$ ならば、$Q$ は負の断面曲率を持つリーマン計量をもつことはできない。
• 負の曲率を持つ多様体の余接 bundle に対して、不変量 $\mathbb{G}\langle\mathcal{T}^{m}p\rangle$ は無限大であり、このような埋め込みに対する位相的妨害要因を提供する。
• $\pi_2(M) = 0$ の高genus の場合、標準的な不変量は消えるため、高genus の擬複素曲線に基づく不変量の必要性が示唆される。